Il primato dell’aritmetica in Nicomaco da Gerasa

Nicomaco nel proemio della Introductio arithmeticae attribuisce un ruolo privilegiato all’aritmetica rispetto alle altre scienze esatte: essa viene rivestita di una tale importanza che sembra difficile pensare che vi possa essere scienza di qualche cosa di ulteriore dopo quella dei numeri. Subito dopo le citazioni, raffiguranti in modo non univoco, come si è visto, la relazione tra matematiche e filosofia, Nicomaco instaura una gerarchia tra le quattro discipline e assegna all’aritmetica una posizione di primato rispetto alle altre scienze, per due importanti ragioni.

  1. Innanzitutto egli sovraordina l’aritmetica alle altre scienze in quanto essa preesiste alle altre discipline nel pensiero del demiurgo, come modello archetipo in base al quale egli ordina tutte le cose;
  2. in secondo luogo per l’anteriorità intrinseca dell’aritmetica, anteriorità in virtù della quale essa sopprime con sé le altre scienze, senza essere a sua volta coinvolta nella loro soppressione.

Nicomaco sostiene che, come il genere viene prima della specie, così l’aritmetica precede la geometria, poiché il numero viene prima delle figure geometriche, che da esso derivano (il triangolo, per esempio, non può essere concepito senza il numero 3, il quadrato non può essere concepito senza il numero 4, e così via). Nicomaco si basa sul concetto che ciò che è anteriore per natura é il fondamento di ciò che è posteriore, per cui, se si elimina il primo, necessariamente viene meno anche il secondo, mentre non si verifica il contrario, ovvero ciò che è successivo non può determinare l’eliminazione di ciò che lo precede. Si considerino ad esempio i due concetti di essere animato e di uomo. L’essere animato viene prima dell’uomo, in quanto è un concetto più ampio e generale che comprende il secondo, per cui, se si elimina l’essere animato, si elimina anche l’uomo, mentre se si toglie l’uomo, l’essere animato non viene affatto meno.

Il ragionamento è analogo nel caso della geometria e dell’aritmetica: le figure geometriche, come il quadrato, il triangolo, prendono i loro nomi dai numeri e ne presuppongono l’esistenza, per cui, se essi vengono eliminati, viene meno anche la geometria, mentre se si tolgono le figure geometriche, i numeri restano. Analogamente l’aritmetica precede la musica, non solo perché ciò che è assoluto è anteriore a ciò che è relativo, ma anche perché l’armonia musicale si fonda su rapporti numerici. A questo punto Nicomaco anticipa il discorso sulle consonanze musicali, che sarà poi sviluppato nella parte finale dell’opera in rapporto alla teoria delle proporzioni, accennando ai principali tipi di accordo e al tono. L’astronomia o sferica, essendo preceduta dalla geometria e dalla musica, a maggior ragione sarà preceduta dall’aritmetica. La quarta disciplina matematica, infatti, si serve delle figure e dei concetti della geometria, (cerchi,sfere, assi e paralleli sono tutti elementi che appartengono a quest’ultima) ed inoltre studia le grandezze mobili, mentre la geometria si occupa di quelle immobili ed è noto che la quiete precede il movimento. Il fatto poi che il moto degli astri sia accompagnato da armonie musicali, dimostra che anche la musica è anteriore all’astronomia. La sferica infine, considerata in se stessa, si fonda sulla natura dei numeri, per mezzo dei quali possiamo calcolare le albe e i tramonti, i moti degli astri, le eclissi e le fasi lunari.

L’ordinamento delle scienze esatte proposto da Nicomaco è il seguente: I) aritmetica; II) musica; III) geometria; IV) astronomia o sferica. È interessante osservare che il criterio che stabilisce l’ordinamento gerarchico delle discipline del quadrivio è quello che considera il rapporto tra due termini in base ai concetti di anteriorità per natura e di posteriorità per natura. L’aritmetica allora diventa condizione necessaria perché tutte le altre scienze possano esistere, in quanto, dati i suoi oggetti (i numeri), possono darsi anche gli oggetti delle altre discipline, mentre se quelli (i numeri) vengono soppressi, non sono più pensabili nemmeno questi (gli oggetti delle altre scienze). Tale relazione è però unilaterale, nel senso che l’aritmetica è la causa dell’esistenza delle altre scienze esatte, ma non è vero il contrario (soppressi i quadrati, il numero quattro non viene soppresso anch’esso, ma rimane). Si viene, dunque, a creare un parallelismo tra ambito logico ed ambito ontologico. Il rapporto tra genere e specie (ambito logico) assume un valore ontologico, poiché, quando si afferma che il genere (per esempio l’essere vivente) è ciò senza di cui la specie (per esempio l’uomo) non è pensabile né concepibile, si condiziona l’essere stesso della specie, tanto che se viene meno il genere, viene meno anche la specie (mentre non si verifica il contrario). Il rapporto genere-specie, che esprime una dipendenza ontologica, diviene rapporto gerarchico, rapporto d’ordine. Pertanto il criterio logico che ha validità nell’ambito dei concetti (senza i numeri le figure non sono nemmeno pensabili) assume la funzione di principio di ordinamento gerarchico in ambito ontologico (i numeri precedono nell’essere le figure): l’ordine che c’è tra i concetti è lo stesso che c’è tra gli enti.

L’altra ragione che conferisce il primato all’aritmetica rispetto alle altre discipline matematiche risiede nel fatto che essa preesiste nel pensiero del demiurgo a tali scienze. I numeri, dunque, descritti come modelli archetipi, cioè come idee, sono posti nel pensiero del demiurgo. In sintesi: l’anteriorità dell’aritmetica si fonda dunque su due ragioni: essa è radice, principio e madre delle altre scienze esatte, da un lato (1), perché preesiste alle suddette scienze nella mente di Dio come modello del cosmo, dall’altro (II), per l’anteriorità naturale, per cui essa elimina con sé le altre scienze, senza essere a sua volta coinvolta nella loro eliminazione.

Autore: Silvia Pieri
Pubblicazione: Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore
Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo: Firenze
Anno: 2005
Pagine: 38-41

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L’Introductio arithmeticae di Nicomaco di Gerasa: un’opera teoretica tra matematica e filosofia (2)

Dopo aver definito la filosofia ἐπιστήμη τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθέιας, Nicomaco precisa che l’ἐπιστήμη è apprensione stabile e sicura del sostrato, e che gli enti sono le cose che permangono sempre identiche a se stesse e che non si allontanano mai nemmeno per un attimo dall’essere. Quindi, Nicomaco definisce le cose immutabili ed immateriali enti in senso proprio (κυρίος ὄντα), e le cose corporee, soggette ad ogni tipo di mutamento e destinate alla corruzione, enti per omonimia (ὁμωνύμως ὄντα). I primi (enti veri) esistono in senso vero e proprio, mentre i secondi (enti per omonimia) esistono solo per omonimia, appunto, rispetto ai primi, in quanto partecipano di essi:

Questi enti sono per natura immateriali, eterni, senza fine, del tutto simili e immutabili, sussistono identici nella loro sostanza e ciascuno di essi è definito essere in senso proprio, mentre quelli che sono immersi nella nascita e nella corruzione, nella crescita e nella diminuzione, in ogni genere di mutamento e nella partecipazione appaiono continuamente in mutamento e sono definiti enti per omonimia con i primi, poiché di essi partecipano, ma per la loro propria natura non sono propriamente degli esseri: essi infatti, non dimorano nell’identico nemmeno per un attimo, ma mutano sempre essendo alterati in tutti i modi.

Questa distinzione permette di precisare più accuratamente l’oggetto della σοφία. La sapienza è conoscenza principalmente (ἐξαιρέτως) degli enti veri, ovvero delle cose immateriali, e per accidens (συμβεβητότως) anche degli enti per omonimia, ovvero delle cose corporee, in quanto partecipano delle precedenti. Il contesto platonico in cui ci introduce la distinzione tra enti veri e enti per omonimia viene fatto ulteriormente emergere dalla citazione del Timeo inserita da Nicomaco per spiegare che l’essere si può cogliere con il pensiero razionale, cioè è conoscibile, in quanto è immutabile, mentre ciò che diviene può essere solo oggetto di opinioni e percezioni irrazionali, in quanto nasce e perisce e non ‘è’ mai veramente. Allora giustamente solo gli enti in senso proprio sono oggetto di scienza, mentre gli enti per omonimia lo sono indirettamente, poiché partecipano dei primi. Non solo la distinzione tra i due gradi dell’essere, ma anche la loro qualifica come essere in senso proprio e essere per omonimia mostra l’influenza della filosofia platonica. Nel Timeo, infatti, Platone parla di una specie immutabile ed eterna che è conoscibile solo con l’intelletto e di una specie sensibile e mutevole che ha con la prima solo un rapporto di omonimia, cioè di somiglianza:

Bisogna ammettere che esiste una sola specie immutabile, ingenerata ed immortale, che in sé non riceve null’altro da altre parti né si muta mai in altro, invisibile ed anche impercettibile, che solo l’intelletto ha la ventura di contemplare;ma c’è un’altra specie omonima, simile a quella, sensibile, generata, sempre in movimento, che nasce in un luogo e poi da lì sparisce, ed è percettibile con l’opinione fondata sulla sensazione.

La distinzione tra enti in senso proprio ed enti per omonimia coincide con quella tra intelligibili e sensibili, tra νοητά e αἰσθητά, come Nicomaco stesso afferma: «degli enti in senso proprio e di quelli per omonimia, vale a dire degli intelligibili e dei sensibili». Il discorso sulla filosofia non è ancora concluso. Nicomaco introduce un’altra distinzione che si sovrappone a quella tra enti in senso proprio e enti per omonimia.

Degli enti in senso proprio e di quelli per omonimia, vale a dire degli intelligibili e dei sensibili, alcuni sono uniti e allo stato di coesione, come l’essere vivente, il mondo, l’albero e tutte le cose simili a queste, che sono chiamate propriamente e particolarmente grandezze, altri sono divisi e allo stato di aggregazione e come prodotti di un accumulo, e sono chiamati molteplicità, come il gregge, il popolo, il mucchio, il coro e le cose simili a queste. Si deve ritenere che la sapienza sia scienza di queste due forme.

Le forme più generali dell’essere sono due: l’essere continuo, ovvero la grandezza (μέγεθος),
la quale è unita nelle sue parti, come un albero, una pietra e i corpi, e l’essere discontinuo, ovvero la molteplicità (πλῆθος), che è costituita da un insieme di parti, come un gregge, un coro ecc. Sia gli intelligibili che i sensibili possono essere continui o discontinui, cioè grandezze o aggregati. Tale distinzione perciò è più generale di quella precedentemente operata tra enti in senso proprio ed enti per omonimia e pertanto la riassorbe in sé come mostra lo schema seguente:


Ciò comporta che sia intelligibili che sensibili siano misurabili e siano suscettibili di essere descritti secondo criteri matematici, come la relazione di maggiore/minore/ uguale, il procedimento di scomponibilità delle parti e di aumento e diminuzione. Il concetto di misura inoltre, implicato dalla distinzione continuo/discontinuo, comporta anche l’intervento di coordinate spazio-temporali. I criteri ora descritti sono certamente applicabili agli enti sensibili, mentre non dovrebbero valere per gli enti intelligibili almeno nell’ambito della filosofia ortodossamente platonica cui Nicomaco sembra volersi ricollegare. Platone infatti afferma, come è noto, che le idee non sono scomponibili in parti, che non occupano alcuno spazio e che sono eterne. In Platone pertanto sembra che la distinzione continuo/discontinuo non possa essere valida per quanto riguarda gli intelligibili. Nicomaco allora si pone sì in una prospettiva platonica, ma non in modo perfettamente coerente e fedele alla filosofia di Platone, bensì con quelle rielaborazioni cui essa era andata incontro per opera dei suoi interpreti.

Se la distinzione continuo/discontinuo vale non solo per i sensibili, ma anche per gli intelligibili, gli intelligibili vengono ad essere simili ai sensibili, dal momento che, come si è visto, essi sono descrivibili secondo il concetto di misura (sono cioè confrontabili e perciò definibili secondo i criteri di maggiore/minore/uguale, sono scomponibili in parti, sono soggetti a procedimenti di crescita e di diminuzione) per cui tra mondo intelligibile e mondo sensibile non sembra esserci la netta separazione teorizzata da Nicomaco all’inizio, ma un rapporto di continuità: le due sfere sembrano avvicinarsi, poiché possono essere valutate in base alle stesse leggi.

I concetti di πλῆθος e μέγεθος richiedono, tuttavia, un’ulteriore precisazione, poiché sono ancora troppo generali. Quantità e grandezza, infatti, sono suscettibili, per loro stessa natura, rispettivamente di crescere e di essere divisa all’infinito. La quantità, spiega Nicomaco, a partire da una radice definita non cessa di crescere, mentre la grandezza a partire da una determinata grandezza non può arrestare la divisione, ma continua all’infinito. Dal momento che non c’è scienza di ciò che è infinito, ma solo di ciò che è finito, i concetti di πλῆθος e μέγεθος, in se stessi indeterminati, in quanto ammettono la crescita e la divisione all’infinito, risultano inconoscibili. È necessario pertanto sostituirli con quelli di quantità determinata (τὸ ποσόν) e di grandezza determinata (τὸ πηλίκον).

Al discorso sulla filosofia e alla definizione della sapienza come scienza delle due forme fondamentali dell’essere, quantità e grandezza, Nicomaco collega il discorso sulle discipline matematiche, presentando un ordinamento delle stesse in relazione al loro oggetto. In pratica tutta la discussione che Nicomaco ha sviluppato intorno agli enti veri e agli enti per omonimia e riguardo alla distinzione tra corpi ed aggregati, ovvero tra grandezza e quantità, serve al filosofo per introdurre il discorso sulle quattro scienze matematiche ed è funzionale proprio alla classificazione di queste discipline, in quanto gli ha permesso ad individuare gli oggetti di studio di tali scienze.

Egli specifica che la quantità può essere assoluta (καθ’ ἑαθτό) come pari, dispari ecc., o relativa (πρὸς ἄλλο),
come il doppio, il minore, il maggiore, la metà ecc. Della prima si occupa l’aritmetica, della seconda la musica. La grandezza a sua volta può essere in quiete o in movimento. La geometria studia la grandezza statica, l’astronomia quella dinamica. L’ordinamento delle scienze può essere rappresentato nel modo seguente:

Poiché le scienze matematiche studiano le due forme fondamentali dell’essere, quantità e grandezza, e la sapienza è scienza dell’essere, e quindi di queste stesse forme, sembra che tali discipline siano parte della filosofia e ne costituiscano, anzi, l’aspetto più alto, giacché il loro oggetto viene a coincidere.

Data l’identità dell’oggetto, sembra che le discipline matematiche salgano ai vertici della conoscenza di cui rappresentano il culmine. Come si è già accennato, tuttavia, il rapporto tra matematica e filosofia non è descritto con chiarezza e coerenza da Nicomaco.

Altre osservazioni di Nicomaco, infatti, sono di diverso significato e ci portano in un’altra direzione. Egli, infatti, afferma che senza le scienze matematiche non è possibile studiare le forme dell’essere, né conoscere la verità che è negli enti, né filosofare correttamente. Queste parole sembrano lasciare intendere che l’oggetto delle scienze matematiche e della filosofia non sia lo stesso, ma che ciò di cui si occupa la filosofia sia un qualche cosa che sta oltre e più in alto delle matematiche, per cui esse verrebbero a costituire un momento necessario e imprescindibile, ma anteriore rispetto al φιλοσοφεῖν. Nicomaco introduce poi una serie di citazioni, non tutte coerenti tra loro: alcune sembrano assegnare alle scienze matematiche una funzione solo preparatoria alla conoscenza più alta, altre, invece, non lasciano cogliere fratture tra le suddette discipline e la filosofia.

La prima citazione, che è attribuita al pitagorico Androcide, assimila la funzione delle discipline matematiche rispetto alla σοφία a quella del progetto disegnato rispetto alla teoria che porta alla realizzazione di un’opera tecnica. La seconda citazione è di Archita di Taranto, il quale sostiene che le scienze matematiche sembrano sorelle, poiché studiano le due forme primarie dell’essere, che sono sorelle. Nicomaco cita poi Platone: prima l’Epinomide in cui si afferma che il vero filosofo è colui che si dedica allo studio di tutte e quattro le scienze matematiche, che sono come scale (κλίμακες) o ponti (γέφυραι) che elevano il pensiero dalle realtà sensibili al mondo degli intelligibili; poi la Repubblica in cui Socrate spiega che l’aritmetica, la geometria, la musica e l’astronomia rivestono una grande importanza non per la loro utilità pratica, ma perché esse illuminano e risvegliano l’occhio dell’anima, ora distratto da altre preoccupazioni, che è l’unico in grado di scorgere la verità.

Si può notare che le citazioni inserite da Nicomaco non possono essere considerate tutte sullo stesso piano. L’assimilazione del rapporto tra scienze esatte e conoscenza piena a quello che intercorre tra progetto disegnato e teoria, espressa dalle parole di Androcide, e il passo della Repubblica sembrano accentuare il ruolo strumentale delle discipline matematiche. Il passo dell’Epinomide,
invece, che considera le scienze matematiche scalini o ponti che collegano il sensibile all’intelligibile, pur mettendo in risalto il ruolo di tramite svolto dalle suddette discipline, non comporta necessariamente una separazione tra matematica e filosofia. Nicomaco, infatti, aveva precedentemente affermato che la filosofia è conoscenza propriamente degli intelligibili, ma anche, per accidens, dei sensibili, per cui, se le scienze matematiche sono il ponte che collega i due piani, esse non sembrano comunque uscire dalla sfera della filosofia stessa. Anche le parole di Archita non fanno emergere separazioni tra il campo delle scienze esatte e quello della filosofia. La posizione delle scienze matematiche non è dunque delineata con chiarezza da Nicomaco, ma oscilla tra una concezione che le assimila alla conoscenza piena e la visione platonica che invece le subordina alla filosofia, con cui intrattengono un rapporto di propedeuticità.

Autore: Silvia Pieri
Pubblicazione: Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore
: Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo: Firenze
Anno: 2005
Pagine: 32-38
Vedi anche:

L’Introductio arithmeticae di Nicomaco di Gerasa: un’opera teoretica tra matematica e filosofia (1)

Non molto si sa di Nicomaco a partire dal periodo in cui visse, che si può inferire solo da alcune circostanze, vale a dire da alcuni dati a cui fa riferimento nelle sue opere, oppure da eventi che non sono in esse menzionati, cosicché si ritiene che egli non li conoscesse e, pertanto fosse a questi precedente. Nicomaco fiorì intorno al I secolo d. C. circa. Nel suo Harmonicum Enchiridium, infatti, menziona Trasillo
che visse durante il regno di Tiberio; Nicomaco, inoltre, non fa riferimento né a Teone di Smirne, autore anch’egli di un trattato aritmologico, né a Tolomeo, che si occupò tra le altre cose di musica, per cui si può supporre che il geraseno sia ad essi anteriore. Poiché Teone e Tolomeo furono attivi intorno alla metà del II secolo, si può collocare Nicomaco nel periodo immediatamente precedente. L’Introductio arithmeticae,
poi, sarebbe stata tradotta in latino da Apuleio, il quale nacque intorno al 125 d. C.. Nel Philopatris (12,11) dello pseudo-Luciano un personaggio ad un certo punto dice «tu calcoli come Nicomaco»; l’affermazione ci mostra un Nicomaco già noto per i suoi scritti intorno alla metà del II secolo d. C. Infine Porfirio lo menziona insieme a Moderato di Gades e altri come un membro promettente della scuola pitagorica. Egli si colloca, dunque, nel periodo della rinascita del pitagorismo che caratterizzò i primi secoli dell’impero ed è considerato un filosofo neopitagorico, benché i suoi scritti rivelino anche una forte influenza della filosofia platonica.

Di Nicomaco ci sono pervenute l’Introductio arithmeticae e il trattato di musica. Egli compose inoltre un’altra opera aritmologica intitolata Theologoumena arithmeticae, che conosciamo attraverso un riassunto del patriarca bizantino Fozio e attraverso gli estratti contenuti in un’anonima compilazione, che porta lo stesso titolo ed è stata attribuita a Giamblico.

Fozio ci informa che l’Introductio arithmeticae fu composta prima dei Theologoumena e che è dedicata all’analisi delle proprietà naturali dei numeri che richiedono un esame serio. L’opera che accoglie l’aritmetica di tradizione pitagorica, si presenta simultaneamente come trattato scientifico e come trattato aritmologico. Discorso matematico e discorso speculativo si sovrappongono l’uno con l’altro, si intrecciano in una sintesi in cui è difficile dipanare i fili dei due piani scientifico e filosofico. L’opera non può, infatti, essere valutata come un trattato tecnico di aritmetica né come uno scritto di aritmologia esclusivamente. L’Introductio così come l’Expositio rerum mathematicamm ad legendum Platonem utilium di Teone di Smirne, di poco più giovane di Nicomaco, furono composte con lo scopo di fornire gli strumenti e le cognizioni necessarie per la comprensione dei dialoghi di Platone, soprattutto di quelli che presentavano maggiori difficoltà interpretative come il Timeo. Con tali opere ci si avvia ormai verso il commento e l’esegesi che si rendevano necessari in particolare per quegli scritti o per quelle sezioni di scritti più complesse, prime tra tutte quelle di carattere matematico, o comunque, più in generale, di argomento scientifico, operazione che avvicina lo studio della matematica alla filosofia, in quanto esso diviene fase preparatoria e propedeutica nei confronti delle verità filosofiche e della comprensione del testo di Platone. Già il fatto che il nostro trattato si apra con una definizione del termine filosofia, inserita in un lungo proemio incentrato sul valore e sull’importanza dell’aritmetica, ci rivela che l’Introductio è più un’opera per filosofi che per veri e propri matematici.

Gli antichi che per primi hanno sistematizzato la scienza a partire da Pitagora, definirono la filosofia amore della sapienza, come mostra il nome stesso, mentre prima di Pitagora tutti venivano denominati indistintamente sapienti, il carpentiere, il calzolaio, il pilota, chi fosse esperto di un’arte o di un mestiere. Ma Pitagora limitò il nome di sapienza a conoscenza dell’essere e chiamò sapienza in senso proprio soltanto la conoscenza della verità che è nell’essere. Definì filosofia il desiderio e ricerca di questa, vale a dire il desiderio di sapienza […] Definì questa sapienza conoscenza della verità che è negli esseri.

Secondo Nicomaco, dunque, prima di Pitagora chiunque fosse esperto in un’arte o in un mestiere era definito σοφός, anche un falegname o un calzolaio. Fu Pitagora che restrinse il concetto di σοφία a scienza e apprensione dell’essere e a conoscenza della verità che è negli esseri (ἐπιστήμε τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας) e che quindi definì filosofia il desiderio di sapienza (σοφίας ὄρεξις). La definizione della filosofia attribuita a Pitagora si rivela altamente speculativa, svincolata com’è dal sapere pratico e tutta tesa allo studio dell’essere, o meglio della verità che è negli esseri. Questa caratteristica allontana anche il sapere scientifico dai suoi aspetti più concreti. Se filosofia e aritmetica sono poste in relazione e, in particolare, la filosofia così definita, anche l’aritmetica ad essa connessa, sembra promettere contenuti poco legati a circostanze pratiche, ma piuttosto alla riflessione astratta in perfetta sintonia con la φιλία σοφίας. La relazione tra filosofia e aritmetica, subito instaurata all’inizio del trattato, lascia già intravedere l’immagine di una disciplina rivestita di un alto valore che non si esprime nel semplice contare o calcolare. La posizione incipitaria della definizione di filosofia mette in mano al lettore la chiave per interpretare il testo, gli suggerisce ciò che deve costantemente tenere presente, quando intraprende lo studio dell’aritmetica e progressivamente vi si addentra, gli indica la via da seguire per cogliere il vero significato e l’alto valore di questa disciplina: è la soluzione dell’enigma, per così dire, di un testo che non è puramente scientifico né puramente aritmologico, che corre sul filo dell’interazione, dell’intreccio, guidato tuttavia dalla φιλία σοφίας, che, come un sigillo, dà l’impronta allo studio dei numeri. Si pone, tuttavia, il problema di quale rapporto intercorra tra filosofia e aritmetica. Nicomaco non lo delinea con chiarezza e si potrà notare che il proemio dell’Introductio contiene non poche ambiguità ed incoerenze: da un lato, infatti, sembra che le discipline matematiche costituiscano una fase preliminare, preparatoria allo studio della filosofia, per cui resterebbero platonicamente da quest’ultima ben distinte; dall’altro, le scienze matematiche, e l’aritmetica in particolare, che è ad esse sovraordinata, sembrano identificarsi con le più alte verità filosofiche, con i vertici della conoscenza, per cui non sembra più esserci posto per una scienza oltre di esse, che verrebbero a coincidere con le più alte mete raggiungibili.

Autore: Silvia Pieri
Pubblicazione: Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore
: Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo: Firenze
Anno: 2005
Pagine: 29-32

Aritmologia, aritmetica e logistica

L’aritmetica fu talvolta distinta in arte del numero (aritmetica) e arte del calcolo (logistica): le valutazioni aritmologiche dei numeri si accompagnavano a quelle scientifiche. Qualsiasi considerazione aritmologica dei numeri, infatti, deve ba­sarsi su un minimo di previa, pura considerazione aritmetica, suscettibile di essere poi usata in chiave simbolica. L’aritmologia, dunque, richiede sempre un certo studio dei numeri, sia dei singoli numeri in se stessi, sia delle relazioni che intercorrono tra di loro. Tutto può essere letto simbolicamente dal singolo numero, al rapporto tra numeri, alla proporzione, purché presentino certe caratteristiche. Quello che si chiede al simbolo, infatti, è di possedere uno o più tratti essenziali del simbolizzato. Questa somiglianza mette in moto il processo, in quanto fa scattare una relazione tra oggetti apparente­mente lontani. L’analogia tra i due piani rende il primo idoneo a rappresentare sinteti­camente il secondo[1]. Se si volesse analizzare la relazione che intercorre tra il simboli­smo dei numeri, che non era sentito come una disciplina a se stante, e le parti in cui effettivamente si distingueva l’aritmetica antica, cioè teoria dei numeri e logistica, si ricaverebbe che all’epoca di Platone l’aritmologia si collega sia all’arte del numero, l’aritmetica, che all’arte del calcolo, la logistica, ma nella loro versione teoretica. La base scientifica su cui essa si fonda, infatti, non è quella di cui si valgono i mercanti, ‘i più’, come dice Platone, ma è quella che conosce i numeri per fini teoretici, che studia le proprietà aritmetiche, le relazioni tra i numeri, e i loro rapporti reciproci. Successiva­mente, invece, all’epoca dei commentatori di Platone l’aritmologia si pone esclusivamente sul versante dell’aritmetica, poiché essa è diventata la scienza delle cose intelligi­bili ed eterne, vale a dire teoria dei numeri vera e propria, mentre la logistica si è ridotta ad arte pratica applicata agli oggetti sensibili.

Nell’antichità il termine aritmetica racchiudeva anche quella che oggi si definisce aritmologia, poiché essa si mescolava con i suoi mysteria alla ‘vera scienza’ senza che tali speculazioni fossero percepite come qualcosa di estraneo all’arit­metica stessa. Armand Delatte afferma di aver introdotto il termine aritmologia nella terminologia filosofica all’inizio del secolo, avendolo trovato in un codice del XVIII secolo. Dichiara infatti:

On peut regretter que dans l’Antiquité, la science ne se soit jamais complètement libérée des pratiques superstitieuses et des idées populaires. En étudiant les premiers essais philosophiques et scientifiques, on s’aperçoit qu’ils ont leur origine dans la religion et le folklore et que la science en resta toujours imprégnée. Il en est ainsi, en particulier, pour l’arithmétique. On peut dire que dans l’Antiquité elle resta longtemps une pseudo-science à laquelle nous ne pouvons plus décemment donner aujourd’hui le nom d’arithmétique. Le nom d’arithmologie pourrait servir commodément à designer ce genre de remarques sur la formation, la valeur et l’importance des dix premiers nombres, où se mêlent la saine recherche scientifique et les fantaisies de la religion et de la philosophie.[2]

Delatte aggiunge in nota che la prima attestazione del termine, a sua conoscen­za, si trova proprio nel codice ateniese del XVIII secolo cui si è accennato sopra:

Nota 1: Je ne puis pas dire que j’invente complètement ce mot. Il se trouve pour la première fois, à ma connaissance, dans un fragment d’un Codex Atheniensis du XVIIIe siècle (Bibliothèque de la Chambre, n° 65), fos 198a sq. sous le titre Ἀριθμολογία ἠθική, l’auteur a groupé des séries numériques d’actions honnêtes ou malhonnêtes, pieuses ou impies, recueilles dans les écrivains sacrés de l’Ancien Testament (Salomon, Sirach ecc.).[3]

Il termine, in realtà è più antico. Innanzitutto Delatte non è stato il primo a reintrodurlo[4], poiché il termine arithmologique si incontra già in un commento agli Aurea carmina di A. Fabre d’Olivet del 1813[5]. Inoltre il codice ateniese del XVIII secolo ricordato da Delatte non è la più antica attestazione del termine, in quanto esso compare già, nel titolo del trattato sui numeri di Athanasius Kircher del 1665. In un’altra opera di Kircher, inoltre, l’Ars magna sciendi, troviamo anche l’aggettivo arithmologicus[6]. Anche in questo caso tuttavia, non si tratta della prima attestazione del termine aritmologia. Non è stato, infatti, il gesuita tedesco a coniare il termine, poiché esso appare già agli inizi del Seicento in un’opera di un certo Lodovick Lloyd intitolata The Pilgrimage of Princes, pubblicata a Londra nel 1607. Ad un certo punto (104b) si leggono le parole seguenti:

A few arithmologies which Salomon the wise, and Jhesus the sonne of Syrach […] have amongst their ciefe wtitings noted.[7]

Sia Kircher che Doyd usano il termine senza darne alcuna spiegazione. Poiché essi lo danno per scontato, a quell’epoca doveva già esser ben noto e comprensibile da parte dei lettori o per lo meno da un certo pubblico. Per l’origine del termine, dunque, si deve risalire più indietro. Non può non colpire, inoltre, la somiglianza tra il codice ateniese e lo scritto di L. Lloyd: entrambe le testimonianze connettono il termine aritmologia alla letteratura sapienziale dell’Antico Testamento (Salomone e Siracide), sembrano quindi riferirsi alla medesima tradizione. In questo caso il significato simbolico dei numeri è posto in relazione ad argomenti di carattere etico, come, del resto, l’autore del frammen­to contenuto nel codice conservato ad Atene si preoccupa di precisare nel titolo (Ἀριθμολογία ἠθική). Forse proprio in quest’area è da ricercare l’origine del termine, in connessione con riflessioni etiche desunte dall’Antico Testamento.

Nei secoli precedenti al nostro terminus ante quem (L. Lloyd) l’interesse per l’interpre­tazione simbolica dei numeri è assai diffuso; basti pensare al gusto umanistico e rinascimentale per le speculazioni aritmologiche. Il Quattrocento, dominato dal recupero della filosofia neoplatonica e della tradizione ermetica, conosce ed apprezza ampiamente la simbologia dei numeri. In quest’epoca, tuttavia, l’aritmologia è ancora integrata e me­scolata con le scienze e con la filosofia. Essa non sembra essere ancora sentita come una dottrina distinta, o meglio come un patrimonio culturale dotato di una propria dignità ed identità, tali da richiedere un nome specifico per definire tale sapere, ed in numerosi autori, infatti, si trovano riflessioni sulle proprietà teoretiche dei numeri della decade (e talvolta anche oltre il numero dieci) inserite, però, nell’ambito di opere filosofiche, non accolte, quindi, in scritti ad esse specificamente dedicati[8]. Uno stesso autore poteva essere contemporaneamente matematico, astronomo, e cultore della magia e dell’alchimia. Le scienze, come le concepiamo noi oggi, non si erano ancora svincolate da campi del sapere non propriamente scientifici. Le speculazioni aritmologiche sono per lo più inserite in opere filosofiche più ampie. All’aritmologia, dunque, vengono dedicate sezioni di scritti di argomento diverso o più vasto. Tutto ciò dimostra che tale dottrina è ancora integrata in sistemi di pensiero di cui essa è sentita parte indistinta[9]. In queste sezioni non compare il termine aritmologia, ma si usa sempre il termine aritmetica, che abbraccia tanto la teoria dei numeri quanto i significati simbolici ad essi attribuiti. Nel secolo succes­sivo, invece, si accentua la tendenza del sapere ad organizzarsi in discipline autonome, le quali rivendicano il proprio campo di azione definito da un fine, un metodo ed una tecnica propri. Le grandi costruzioni sistematiche in cui le varie discipline, dalle arti alle scienze, costituivano le tessere, strettamente correlate le une con le altre, di un mosaico organico, dominato dai principi della metafisica e della teologia, perde la sua coesione e si frantuma nei suoi elementi costitutivi, come se ciascuno di essi volesse affermare la propria individualità e autonomia[10]. Particolarmente studiata fu la matematica, interpre­tata sia secondo la filosofia neoplatonica, cioè nei suoi aspetti simbolici, sia in manieri tecnica, scientifica: i due aspetti coesistevano spesso in uno stesso autore, segno che il concezione mistica dei numeri non si era ancora separata da quella rigorosamente scien­tifica. Assai diffuso, infatti, era, più in generale, l’interesse per indagini considerate affini alla ricerca scientifica, nel campo dell’astrologia, dell’alchimia e della magia. Fiorirono moltissimi scritti di aritmetica sia pratica che teoretica in tutta Europa[11]. Inoltre si esegui­rono e pubblicarono moltissime traduzioni di opere scientifiche antiche, soprattutto di matematica. Quest’epoca, dunque, con la sua tendenza alla specializzazione delle scienze, con il recupero della cultura greca e con il gusto per l’aritmetica nella sua veste sia scientifica che mistica[12], potrebbe costituire il terreno fertile, se non per la creazione, quanto meno per­la diffusione di un termine funzionale alla individuazione e definizione dell’aritmetica teoretica[13]. Il termine aritmologia potrebbe infine provenire dal mondo orientale bizantino dove a partire dal IX secolo si apre un periodo di particolare interesse per l’aritmetica e per la simbologia dei numeri e potrebbe essere poi passato da li all’occidente proprio nel periodo in cui cominciarono a giungere i dotti bizantini custodi e depositari per secoli della cultura greca antica[14].

L’introduzione del termine aritmologia, dunque, è ben più antica di quanto ave­va supposto Delatte, ed è da collocarsi in un periodo culturale in cui si cominciò a prendere coscienza dell’uso simbolico del numero (forse in connessione con riflessioni etiche desunte dall’Antico Testamento), tanto da percepire questa prassi come un tipo di riflessione specifica che richiedeva, pertanto, un proprio nome[15]. Certamente nel mondo antico questa coscienza era assente e parlare di aritmologia, pertanto, significa introdurre un concetto o una categoria mentale posteriore, estranea alla matematica antica, la quale semmai distingueva tra teoria dei numeri e arte pratica del calcolo, ma non isolava le riflessioni sul significato simbolico dei numeri dallo studio delle loro proprietà e delle loro relazioni[16], tanto più che, come si è visto, la conoscenza della teoria dei numeri, anche se in forma elementare, era indispensabile punto di partenza per le investigazioni e le speculazioni sulle valenze extramatematiche dei numeri.


[1] Sul simbolismo dei numeri si veda V F. Hopper, Medieval Number Symbolism: its sources meaning and influence on thought and expression, New York 1938; R. Allendy, Le symbolisme du nombres, Paris 1948; M. Eliade, Images et Symboles, Paris 1952; M. Ghyka, Philosophie et mystique du nombre, Paris 1952; T. Dantzig, Number: The Language of Science, New York 19544. Utile è anche tenere presente J. E. Cirlot, A Dictionary of Symbols 1962 poi J. Chevalier-A. Gheerbrant, Dictionnaire des symboles, Paris 1973 quindi Ad de Vries, Dictionary of symbols and imagery, Amsterdam 1974 e P. Brach, Il simbolismo dei numeri, Roma 1999. Sul significato simbolico dei numeri della decade e dei numeri significativi oltre il dieci cfr. R. A. Laroche, Popular Symbolic/Mystical Numbers in Antiquity, «Latomus» 54, f. 3 (1995), pp. 569-576.

[2] A. Delatte, Études sur la littérature pythagoricienne, Paris 1915, p. 139.

[3] A. Delatte, Études sur la littérature pythagoricienne, Paris 1915, p. 139.

[4] Cfr. M. Regali, Intenti programmatici nel «De institutione arithmetica» di Boezio, «Studi classici e orientali» 33 (1983), pp. 193-204, p.199 n.31, dove afferma: «Il termine aritmologia è stato proposto da A. Delatte, Études sur la littérature pythagoricienne, Paris 1915, p.139) per indicare, con riferimento all’aritmetica, la stessa differenza che, in campo astronomico, esiste tra astrologia e astronomia».

[5] Cfr. A. Fabre d’Olivet, Les Verses dorés, Paris 1813, pp. 335-336.

[6] A. Kircher, Ars magna sciendi, Amsterdam 1669, p. 155: «Est itaque Ars Combinatoria facultas Arithmologica».

[7] Ho trovato l’attestazione del termine aritmologia in L. Lloyd alla voce Arìthmology dell’Oxford English Dictionary.

[8] Un esempio principe fra tutti è la Theologia platonica di Marsilio Ficino, dove abbondano le speculazioni aritmologiche, ma l’interesse per il simbolismo dei numeri rientra sempre sotto la definizione di aritmetica e non occupa certo l’intera opera.

[9] Cfr. L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. 2: Il Cinquecento e il Seicento, Milano 1970, p. 89 sgg.

[10] Cfr. L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. 2: Il Cinquecento e il Seicento, Milano 1970, vol. 2, pp. 26-27, p. 44 sgg.

[11] Sulla matematica ed in particolare l’aritmetica di questo periodo si veda G. Sarton, The appreciation of the Ancient and Medieval Science during the Reinassance (1450-1600), Philadelphia 1953, p. 151 sgg., il quale fornisce anche una ricca panoramica di trattati di aritmetica sia di carattere pratico che di carattere speculativo. Uno dei testi fondamentali è l’opera di Cornelio Agrippa, De occulta phiiosophia libri tres, Cologne 1533. Il trattato, che è una delle fonti principali dell’Arithmologia di Athanasius Kircher, e che intreccia l’aritmetica pitagorica (l’autore attinge, spesso testualmente a Nicomaco di Gerasa, Teone di Smirne, Boezio ecc.; e innumerevoli sono i richiami a Pitagora), la cabala e l’ermetismo rinascimentale, dedica ampio spazio alle proprietà ed alla simbologia dei numeri. Interessante tra gli altri aspetti, come la ripresa della dottrina pitagorica che tutto è costituiti da numeri e che tutto il cosmo, quindi, ha una struttura numerica, a partire dai suoni e dalla musica ecc., è la distinzione tra numero razionale, che detiene il primato, e numero sensibile, di cui i filosofi non si curano a partire da quelli antichi, affermazione che ribadisce il carattere eminentemente teoretico questa aritmetica, priva di funzioni pratiche, e tradotta in paradigma dell’ordine cosmico ed in simbolo.

[12] Cfr. L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. 2: Il Cinquecento e il Seicento, Milano 1970, vol. 2, p. 93 sgg.

[13] Sulla commistione di aspetti scientifici e interessi per dottrine non propriamente tali, tra cui spesso anche la magia, l’alchimia, l’astrologia ecc., nel Cinquecento si veda P. Rossi, Storia della scienza moderna e contemporanea, Vol. 6: Dalla rivoluzione scientifica all’età dei Lumi, Torino 1988, pp. 31-57.

[14] Cfr. L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. 2: Il Cinqucento e il Seicento, Milano 1970, vol. 2, pp. 32-34.

[15] Afferma G. Cambiano, Figura e numero, in Il sapere degli antichi, a cura di M. Vegetti, Torino 1985, pp. 83-107, p. 87: «È un’operazione artificiale e fondata comunque su una concezione posteriore delle matematiche distinguere nel pitagorismo tra un’aritmetica buona e un’aritmologia cattiva».

[16] Sebbene, come si è visto, il sorgere di una ‘coscienza aritmologica’, nel senso di consapevolezza di trattare il numero da un punto di vista simbolico instaurando delle corrispondenze tra numeri significativi e concetti non matematici, tale da far nascere l’esigenza di una terminologia specifica, sia ben più antico di quanto si ritenesse.


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 24-28

Numerorum Mysteria

Arithmologia sire de abditis numerorum mysteriis
qua
Origo, Antiquitas & fabrica numerorum exponitur;
Abditae eorundem proprìetates demonstrantur;
Fontes superstitionum in Amuletorum fabrica aperiuntur;
Denique post Cabalistarum, Arabum, Gnosticorum, aliorumque magicas impietates
detectas, vera & licita numerorum mystica significatio ostenditur

È il titolo di un trattato sui numeri pubblicato a Roma nel 1665 dal gesuita tedesco Athanasius Kircher. Nel breve spazio del titolo troviamo associati tre termini degni di nota arithmologia, mysteria e numeri. Se giriamo qualche pagina della trattato, all’inizio della prefazione l’autore cosi si rivolge al lettore: Arithmologiam arcanarum rerum opulentia confertam editurus,… Si può notare subito che l’arithmologia viene immediatamente connessa con l’elemento della segretezza, del mistero, delle res arcanae che sembrano promettere ricca materia (opulentia) a chi desideri addentrarsi nel loro studio e nella loro comprensione. Prima di procedere oltre, è opportuno tenere presenti alcuni aspetti fondamentali della personalità dell’autore dell’Arithmologia, affinché si possa cogliere meglio il senso dell’indagine sui numeri da lui condotta, della importanza loro attribuita, ma soprattutto affinché possa emergere con maggiore chiarezza come si arriva all’uso simbolico del numero, per quali vie si compia questo passaggio e quali elementi esso coinvolga.

La figura di Athanasius Kircher è complessa e variegata. Sostanzialmente egli era convinto che tutti i molteplici, svariati aspetti del reale si corrispondessero tra loro e si inserissero, armonicamente organizzati, in un’architettura dalla tramatura imperniata su ordine e regolarità, i cui fili intrattenevano segrete corrispondenze tra le parti e con il tutto, in una prospettiva unitaria che tentava di coinvolgere anche culture lontane ed esotiche, al fine di creare un sistema universale, in quanto tale sistema era funzionale al suo programma apologetico e apostolico[1]. Egli riteneva che i fenomeni non si prestassero solo ad una lettura immediata, ma che rimandassero anche ad un significato ulteriore e nascosto posto al di là dell’apparenza, perciò ricorreva ampiamente al simbolismo e all’analogia. «La vera novità introdotta da Kircher consiste nell’aver applicato il metodo dell’analogia e del simbolismo alla ricostruzione biblica e agostiniana della storia universale»[2]. Ogni evento, ogni fenomeno si presenta come un simbolo, poiché è interpretabile secondo due direzioni, una ‘letterale’, superficiale che coglie soltanto ciò che si manifesta, una profonda elevabile al di là della semplice immagine che il fenomeno offre di sé[3]. Le similitudini e le corrispondenze che ricercava come espressioni dell’unità mistica del cosmo, Kircher le individuava soprattutto tra i numeri che erano il simbolo più efficace dell’armonia universale. Frutto di tali indagini fu l’Arithmologia che investiga le proprietà misteriose dei numeri concepiti come un modello in grado di spiegare ed esprimere sinteticamente la complessità del reale. L’opera è alquanto composita poiché in essa confluiscono tradizioni diverse, l’aritmetica pitagorica e la cabala non avulsi da un certo interesse per la magia tipico del Rinascimento. I numeri assumono un valore altamente simbolico, essi rimandano all’essenza delle cose e rappresentano l’armonia del cosmo. Per mezzo dei numeri, inoltre, sono esprimibili le armonie musicali che costituiscono un’altra efficace immagine dell’armonia universale[4].

L’aritmologia viene presentata come logos, discorso, ragionamento su un qualche cosa di nascosto, abditum, che appartiene alla sfera dei numeri. Ci appare così come dottrina, mezzo o via che si deve percorrere per giungere a cogliere tale abditum, per togliere dai mysteria il velo che li protegge impedendone la conoscenza[5]. Se gli abdita mysteria, come si è accennato, si riferiscono ai numeri, essi risultano in qualche modo associati ad essi da una relazione tra due termini, quello del numero e quello dell’abditum, che non stanno sullo stesso piano, in quanto ciò che è nascosto sta, per sua natura, dietro o al di là di ciò che appare più evidente o più comprensibile o più accessibile alla conoscenza. Se ciò che è più difficilmente raggiungibile è più lontano e più riposto rispetto a ciò che è più agevolmente conoscibile, la nostra relazione andrà dal secondo termine verso il primo, dal numero verso l’abditum. Si delinea così la possibilità di un iter percorribile attraverso la progressiva conoscenza dei numeri che culmina con l’afferrarne i segreti. L’esistenza di questa relazione tra i due livelli, rispettivamente del numero e del mysterium di cui esso è depositario, è la condizione che ci suggerisce di cogliere il numero come punto di partenza verso la scoperta di qualcosa che è oltre l’evidenza del numero stesso, e quindi di interpretarlo come espressione di questo qualche cosa. La relazione può essere schematizzata nel modo seguente:

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Dai numeri è possibile risalire ai mysteria. Se i mysteria si riferiscono ai numeri, e se si ricorda che Kircher nel titolo dell’Arithmologia afferma di voler demonstrare le abditae proprietates dei numeri, non si sbaglierà se si intenderanno i mysteria innanzitutto come proprietà, caratteristiche aritmetiche, ma, si badi bene, non esclusivamente dei numeri. Se, infatti, facessimo coincidere le segrete proprietà dei numeri soltanto con proprietà aritmetiche, rimarremmo in un ambito rigorosamente scientifico. Basta anche solo sfogliare l’Arithmologia di Kircher per rendersi conto che non si tratta di un’opera di aritmetica come intendiamo noi oggi, ma che ci troviamo di fronte a qualcosa di alquanto diverso, qualcosa il cui fine è svelare la vera et licita numerorum mystica significatio. Allora i mysteria non racchiudono soltanto proprietà aritmetiche, ma anche extraritmetiche. I due livelli, pertanto, dei numeri e dei mysteria, non stanno sullo stesso piano, come accennato prima, ma non sono nemmeno completamente separati. Poiché, infatti, i mysteria contengono sia una parte aritmetica che una extraritmetica, i due termini della relazione, numeri e mysteria si intersecano. Se i numeri sono detentori di mysteria così definiti e ad essi rimandano, è dunque vero che sono espressione di qualcosa che è oltre il numero, ma anche che con esso intrattengono stretti rapporti. La relazione tra numeri e mysteria, che trovano la loro intersezione nel campo delle proprietà aritmetiche, appare senza soluzione di continuità. Tale zona delle proprietà aritmetiche, che appartengono sia ai numeri sia ai mysteria, è il punto in cui avviene il passaggio dal regno della quantità, quello dei numeri e delle loro proprietà, al regno della qualità, dove oltre, o meglio dove associati alle proprietà aritmetiche si trovano elementi extraritmetici. Essa è la zona di interazione tra i due domini, il luogo in cui essi si incontrano:

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Numero e mysterium sono intimamente legati, dato che l’uno conduce all’altro e pur non coincidendo, hanno un’area comune, da cui si passa per raggiungere ciò che e oltre il numero. Il numero nasconde certe proprietà aritmetiche che, a loro volta nascondono altre proprietà non più aritmetiche. Si comprende così come il numero punto di partenza di questo percorso, adombri e, quindi, rappresenti le entità non più inerenti il mondo puro e semplice della quantità, insomma i mysteria. Pur non essendo più di natura aritmetica, tali entità, come si è detto, non sono totalmente separate da numeri, nel senso che interagiscono con essi, in quanto vi intrattengono relazioni, che si originano nel terreno comune dell’insieme intersezione delle proprietà aritmetiche che appartengono sia al mondo dei numeri che a quello dei mysteria. Poiché tali proprietà non sono immediatamente visibili, ma sono qualcosa che deve comunque essere svelato, è naturale che anch’esse, avendo carattere di segretezza, appartengano ai mysteria. Se i mysteria sono costituiti da elementi di natura aritmetica ed extraritmetica, e gli elementi di natura aritmetica sono il punto di partenza da cui si giunge in altri domini non più quantitativi, vale a dire sono quelli che entrano in gioco nel rapporto con le entità qualitative, allora si possono individuare due livelli di mysteria: quello dei mysteria aritmetici e il livello ulteriore dei mysteria extraritmetici. Cosicché i passaggi sono due, il primo dai numeri ai loro mysteria aritmetici, cioè alle loro proprietà aritmetiche, il seconde dalle suddette proprietà ai mysteria non quantitativi, realtà appunto non più aritmetiche:

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Ciò che consente il primo passaggio è evidente, meno evidente è la relazione che lega i mysteria aritmetici a quelli non aritmetici. Essi sono connessi da relazioni di somiglianza, di analogia tra determinate proprietà aritmetiche e certe caratteristiche delle entità non aritmetiche. Per questa via il regno dell’aritmetica entra in relazione con alte regni, di cui rappresenta sinteticamente alcuni tratti distintivi o caratteristiche significative. Partendo dai numeri, procedendo oltre di essi, si può, dunque, arrivare a realtà anche lontane da quella di partenza, e, come si è visto, i rispettivi campi d’azione rivelano un’interazione che diventa addirittura intersezione. Allora se il numero è rappresentazione sintetica e assolutamente precisa di realtà anche lontane, talvolta troppo complesse o elevate per poter essere descritte o spiegate, ma tali da richiedere un percorso graduale da un livello inferiore ad uno superiore, si comprende come il livello di partenza, il numero appunto, ce ne offra per il momento il simbolo, che dovrà in una fase successiva essere interpretato. Da quanto si è detto si deduce che questo tipo di riflessione sui numeri comprende una parte scientifica di studio dei numeri e delle loro proprietà e una parte che lega i risultati di tale indagine ad entità di altra natura, procedimento con cui si esce dal campo dell’aritmetica. Perciò una base scientifica è necessaria alla riflessione aritmologica, ed è ad essa saldamente unita, cosicché mondo della scienza e mondo della speculazione filosofica si intrecciano.


[1] Delinea molto efficacemente i tratti salienti dell’universo intellettuale di Kircher D. Pastine, La nascita dell’idolatria. L’Oriente religioso di Athanasius Kircher, Firenze 1978, p. 27, con le parole seguenti: «I filosofi ai quali volentieri si richiama e che formano una genealogia di sapienti o di veggenti che di ramo in ramo discende sino a lui sono Ermete Trismegisto, Platone, Plotino, Proclo, Dionigi l’Areopagita, Alberto Magno e Cusano. Il suo metodo consiste essenzialmente in uno studio analitico della natura al fine di mettere in luce le segrete corrispondenze che legano i singoli aspetti del mondo sublunare ai fenomeni celesti, i concetti della mente alle realtà fisiche, le personificazioni della mitologia alle forze palesi ed occulte operanti nell’universo, i dogmi e i carismi della teologia alle virtù morali, le operazioni magiche o sataniche ai vizi capitali che determinano la perpetua disgregazione di un mondo che la Divina Bontà ha voluto unito e armonico in ogni sua parte».

[2] Ibid., p. 28.

[3] Secondo il Kircher tra le parti che costituiscono il mondo vi sono segrete somiglianze, cosi come vi sono somiglianze e affinità tra il macrocosmo rappresentato dall’universo ed il microcosmo rappresentato dall’uomo, somiglianze che fanno del cosmo una realtà unitaria. In ogni parte di esso egli individuava, cf. P. Rossi, I segni del tempo. Storia della terra e storia delle nazioni da Hooke a Vico, Milano 1979, p. 26: «figure geometriche, lettere dell’alfabeto greco e latino, immagini di corpi celesti, forme di alberi, di animali e di uomini, simboli misteriosi che rinviano a profondi sensi religiosi e possono costituire altrettan­te vie alla rivelazione dei divini significati che pervadono il mondo».

[4] Cf. Pastine, La nascita dell’idolatria, cit., pp. 36ss. Qualche cenno sul simbolismo universale di Athanasius Kircher in P. Rossi, Clavis universalis. Arti mnemoniche e logica combinatoria da Lullo a Leibniz, Milano 1960, p. 196; I segni del tempo, cit., p. 151.

[5] I numeri non sono concepiti come semplici quantità, ma sono interpretati in chiave mistica. All’interpretazione mistica del numero contribuirono arche i cabalisti ebraici, soprattutto a partire dal XIII secolo, che sull’abitudine di molti popoli di indicare i numeri mediante le lettere dell’alfabeto costruirono un sistema combinatorio, che instaurava delle corrispondenze tra parole le cui lettere, consi­derate come cifre, davano la stessa somma. Attraverso questa procedura il Kircher indagava le proprietà segrete dei numeri. Un particolare valore egli attribuiva all’unità che rappresentava Dio e che conteneva in potenza tutti i numeri e tutte le proprietà ed ai numeri quadrati. Cfr. Pastine, La nascita dell’idolatria, cit., pp. 39ss., che si sofferma a lungo sull’arte combinatoria detta isopsephia adottata dal Kircher nell’Arithmologia. Su tale argomento si veda anche L. Couturat, La logique de Leibniz, Paris 1901, pp. 541-543.


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 19-24

La divisione dell’aritmetica (2)

Intorno al primo secolo a.C. sembra sia avvenuta una evolu­zione e che sia stata data una nuova lettura dell’aritmetica e della logistica. La logistica, infatti, fu ridotta alla risoluzione di calcoli artificiosi, mentre l’aritmetica diventa la teoria dei numeri. Proclo nel Commentarium in primum Euclidis Elementorum librum ci informa che oltre alla divisione pitagorica della scienza matematica esiste un’altra partizione, seguita tra gli altri anche da Gemino[1]. Questi matematici insieme a Gemino, appunto pongono, da un lato, la matematica che si occupa soltanto delle cose intelligibili, dall’altro, quella che si occupa delle cose sensibili, ed è ad esse applicata. La matematica che tratta delle cose intelligibili viene distinta innanzitutto in due parti principali e più nobili: aritmetica e geometria. La matematica che si occupa degli oggetti sensibili, invece, si divide in sei parti: meccanica, astronomia, ottica, geodesia, canonica e logistica. Dopo la distinzione della matematica in teoretica e pratica, e la descrizione generale della divisione dei due tipi di matematica nelle loro rispettive branche, il discorso procede volgendosi all’ana­lisi delle singole discipline:[2]

A sua volta l’aritmetica si divide allo stesso modo in teoria dei numeri lineari, dei numeri piani e dei numeri solidi; di fatto essa studia le specie del numero per se stesse, procedenti dall’unità, e la generazione dei numeri piani, simili e dissi­mili, e il loro procedere fino alla terza dimensione. La geodesia poi e la logistica, in modo analogo alle specie già dette, non su numeri e figure intelligibili fanno i loro ragionamenti, ma su oggetti sensibili. Non è infatti compito della geodesia misu­rare un cilindro o un cono, ma cumuli di terra considerati come coni e pozzi come cilindri; né di farlo mediante linee rette ideali, ma con rette sensibili, a volte più esatte come i raggi solari, a volte più grossolane come corde di sparto e filo a piombo. A sua volta il calcolatore studia le proprietà dei numeri non per se stessi, ma in quanto sono presenti nelle cose sensibili, per cui egli dà ai numeri un appellativo ricavato dalle cose misurate, chiamando alcuni numeri ‘meliti’ e altri ‘fialiti’.[3]

Mentre in Platone sia l’aritmetica che la logistica si articolavano entrambe in una disciplina pratica ed in una teoretica, ora solo l’aritmetica occupa il posto più nobile di scienza teoretica, mentre la logistica viene relegata sul piano dei sensibili, poiché è appli­cata agli oggetti. La logistica, in questo modo, assume un ruolo secondario rispetto all’aritmetica, che insieme alla geometria costituisce una delle branche della matematica più nobile, quella che studia gli intelligibili[4]. Un’altra descrizione della logistica, più dettagliata della precedente, si trova in uno scolio al Carmide (165e):

La logistica è la scienza che tratta degli oggetti numerati, non dei nume­ri; essa non considera il numero veramente, ma pone l’uno come monade, l’oggetto numerato come numero, per esempio, considera il tre come una triade e dieci come una decade: a tali casi applica i teoremi dell’aritmetica. Investiga, poi, da un lato, il problema chiamato da Archimede ‘dei buoi’[5], dall’altro, i numeri ‘meliti’ e ‘fìaliti’, che concernono gli uni il gregge e gli altri le coppe[6]. In altri casi investiga il numero di corpi sensibili, trattandoli come perfetti, com­piuti. Sua materia, suo oggetto, è tutto ciò che è numerato: le sue parti com­prendono i cosiddetti metodi greci ed egiziani riguardo alle moltiplicazioni e divisioni, così come le addizioni e le divisioni con le quali indaga i segreti celati negli argomenti dei problemi attraverso la teoria dei numeri triangolari e poligonali. Il suo fine è di offrire un patrimonio comune nella vita e utile per i contratti, anche se sembra considerare i sensibili come perfetti.[7]

Lo scolio presenta la logistica come scienza che non studia i numeri in se stessi, bensì le cose numerate, vale a dire i numeri applicati e connessi ad oggetti concreti. Nella logistica rientrano le operazioni aritmetiche, la risoluzione di problemi aritmetici, ma che sono sempre calati nel mondo sensibile e materiale, mai concepiti in modo astratto. Per concludere, anche il fine della logistica è di carattere pratico, in quanto essa riveste una funzione di utilità comune come supporto per le esigenze della vita quotidiana.

Infine Anatolio[8] citato da Erone ci fornisce informazioni analoghe sulla logistica e sull’aritmetica con la stessa divisione della matematica proposta da Gemino:

«Quante sono le branche dell’aritmetica?» «Due sono le branche principali della matematica prima e più nobile, l’aritmetica e la geometria, mentre sei sono le branche della matematica che concerne i sensibili, la logistica, la geodesia, l’ottica, la canonica, la meccanica e l’astronomia. Che la cosiddetta tattica, l’architettura, la musica popolare, lo studio delle fasi lunari e la meccanica così detta per omonimia, non sono parti della matematica, come alcuni ritengono, dimostreremo con chia­rezza e con metodo».[9]

Dunque all’epoca degli interpreti di Platone la logistica sembra ridursi esclusivamente ad arte del calcolo legata ad oggetti sensibili, mentre l’aritmetica diventa scienza puramente teoretica. Il passo distingue una matematica teoretica più degna ed elevata da una matematica di carattere pratico, poiché coinvolta nella materia dall’applicazione ad oggetti concreti. La matematica teoretica si articola in aritmetica e geometria, che sono concepite dunque come scienze astratte, mentre la matematica di rango meno elevato si suddivide in sei branche, tra cui troviamo la logistica, tutte in connessione con i sensibili[10].


[1] Gemino, matematico ed astronomo, visse nel I secolo a. C. Della sua vita si sa molto poco. Secondo la tradizione nacque a Rodi. Ci è pervenuta una sola opera, un’Introduzione ai fenomeni. Si tratta di un manuale elementare di cosmografia. Gemino fu autore di altri scritti. Simplicio ci ha conservato un estratto di un’altra opera, un trattato di meteorologia, cioè di astronomia fisica. Infine numerosi frammenti conservati da Proclo nel Commentarium in primum Euclidis Elementorum librum fanno parte di una terza opera di matematica.

[2] La divisione della matematica secondo i pitagorici, presentata da Proclo immediatamente prima della citazione di Gemino, si basa sul ‘quanto’ e sul ‘quanto grande’, vale a dire, sulla quantità e sulla grandezza. La quantità, a sua volta, può essere assoluta, considerata solo in se stessa, o relativa, vista in rapporto ad un’altra quantità. La grandezza, poi, può essere stabile o in movimento. Si ottengono così quattro diverse entità che diventano oggetto di studio di quattro sezioni della matematica: l’aritmetica considera la quantità assoluta, mentre la musica studia la quantità relativa; la geometria si occupa della grandezza immobile, l’astronomia, infine, studia la grandezza mobile. Si può rappresentare graficamente la divisione pitagorica della matematica in questo modo:

assoluta = aritmetica

quantità

relativa = musica

 

in quiete = geometria

grandezza

in movimento = astronomia

La divisione della matematica proposta da Gemino si può schematizzare nel modo seguente:

intelligibili

geometria   aritmetica

meccanica   astronomia   ottica   geodesia   canonica   logistica

sensibili

[3] Procl, In Eucl. p. 39, 14-40, 5 Friedlein (trad. di Maria Timpanaro Cardini 1978).

[4] La distinzione tra aritmetica e logistica, secondo Proclo, non è solo sincronica, ma anche diacronica, giacché prima sarebbe nata l’arte del calcolo come risposta ad esigenze pratiche, poi, solo successivamente si sarebbe passati alla teoria dei numeri. Nel suo commento ad Euclide egli ci informa che l’esatta conoscenza dei numeri e l’arte del calcolo ebbero inizio presso i Fenici a causa dei commerci. Un’esigenza pratica, aggiunge, sta all’origine di questa come di molte altre scienze; dall’arte del calcolo, infatti, si passò alla fase successiva della conoscenza ragionata, poiché ciò che è imperfetto procede verso ciò che è perfetto. Poiché, dunque, viene cronologicamente prima dell’aritmetica, la logistica è inferiore ed imperfetta, dato che l’aritmetica rappresenta la progressiva liberazione dal contingente e l’acquisizione della riflessione astratta.

[5] II problema dei buoi consiste nel cercare di trovare il numero di cui sono costituiti quattro gruppi di buoi e quattro gruppi di mucche (ciascun gruppo è di colore diverso), quindi si tratta di determinare otto quantità ignote attraverso sette equazioni ed altre due condizioni note.

[6] Numeri ‘fialiti’ deriva da φιάλη ‘coppa’: si allude ad un problema aritmetico connesso evidentemente al numero delle coppe; analogamente i numeri ‘meliti’, da μῆλον ‘pecora’, riguardano un altro problema aritmetico legato al numero delle pecore. Quali siano i numeri ‘meliti’ e ‘fialiti’ si evince da un passo delle Leggi (VII, 819bl-c7): «I cittadini liberi debbono imparare tutto quello che in Egitto la enorme massa dei bambini apprende insieme ai primi rudimenti della scrittura. Innanzitutto si insegnano ai bambini piacevolmente, mentre giocano, i calcoli aritmetici senza pesare su di loro, per esempio dividendo delle mele o delle corone fra un numero più o meno grande di scolari, e prendendo numeri adatti […] Altri dopo aver mescolato un certo numero di coppe d’oro, d’argento, di bronzo e di altre simili materie, come per gioco, le distribuiscono, e adattano al gioco le nozioni utili di aritmetica, in modo che i bambini vengono cosi preparati ad ordinare le schiere, a guidarle, a condurre una spedizione, all’economia domestica, e diventano molto più utili e più abili».

[7] Il testo dello scolio con una traduzione inglese si trova in I. Thomas, Selections illustrating the history of Greek mathematics with an English translation, London 1939, vol. l, pp.16-18. Un breve commento a questo scolio si trova in G. Loria, Le scienze esatte nell’antica Grecia, Modena 1902, p. 26 sgg.

[8] Anatolio visse tra il 230 e il 300. Insegnava filosofia ad Alessandria. Convertitosi al cristianesimo, fu nominato, intorno al 270, vescovo di Laodicea. Fu autore di un’Introductio arithmeticae in dieci libri e di altre opere sulla logistica egiziana e sul metodo per calcolare la data della Pasqua. Scrisse, inoltre, un trattato aritmologico De decade.

[9] Anatolius apud Heron. Def. 164, 9-18 Heiberg. II passo è stato tradotto in lingua inglese da I. Thomas, op. cit., 1939, pp. 18-19.

[10] La divisione della matematica proposta da Anatolio si può schematizzare nel modo seguente:

Matematica teoretica

Aritmetica               Geometria

Matematica pratica

logistica   geodesia   ottica   canonica   meccanica   astronomia


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 16-19

La divisione dell’aritmetica (1)

Nell’antichità il termine aritmologia non esisteva. Ciò significa che essa non era sentita come una dottrina a se stante, o come un ramo dell’aritmetica, ma come parte di essa.

Alla base del sorgere di un nuovo termine, infatti, si pone la necessità di identi­ficare e definire un nuovo concetto; se non si avverte tale necessità, significa che il concetto non si è ancora formato, non ha ancora preso corpo e la consistenza necessari per presentarsi alla coscienza come un qualche cosa di autonomo ed indipendente per il quale urge l’identificazione linguistica; esso rimane in uno stato magmatico, indistinto dalla materia che lo circonda, ancora parte di essa. Così, la mancanza sul piano linguistico di un termine per designare i significati simbolici dei numeri (aritmologia) rivela l’analoga mancanza, sul piano concettuale, della nozione di ‘dottrina speciale dei nume­ri’ separata dall’aritmetica, l’assenza di una coscienza aritmologica, per così dire, da contrapporre ad una coscienza aritmetica.

Perché la distinzione tra aritmetica e aritmologia venga operata o suggellata dall’introduzione di un termine specifico per identificare una certa dottrina dei numeri, molti secoli dovranno passare. Prima di esaminare questo aspetto, è utile considerare come l’antichità concepiva l’aritmetica al fine di comprendere meglio il posto che occupava in essa l’aritmologia e come vi si inseriva. L’antichità talvolta distingueva tra aritmetica (ἀριθμητική) e logistica (λογιστική). Le principali fonti che attestano questa distinzione sono Gemino citato da Proclo nel suo Commentarium in prιmum Euclidis Elementorum librum, uno scolio al Carmide di Platone e Anatolio citato da Erone nelle Definizioni. Già in Platone, tuttavia, troviamo insieme i due termini aritmetica e logistica. Comprendere quale significato il filosofo attribuisca loro è alquanto problematico, poiché i numerosi passi dei dialoghi dedicati a questo argomento presentano notevoli differenze. Talvolta Platone parla di aritmetica e logistica insieme[1], talvolta, invece, ope­ra un’accurata distinzione tra le due[2]; ci sono passi dove egli menziona solo la logistica[3] e non l’aritmetica, ed altri dove compare anche un altro termine, μετρητιή, ovvero arte della misura[4]. Talvolta Platone distingue una logistica pratica ed una logistica teoretica, così come un’aritmetica pratica ed una teoretica[5]. Tuttavia, la differenza tra l’aritmetica e la logistica sembra corrispondere a quella che intercorre rispettivamente tra il contare e il calcolare. Nel Gorgia, infatti, Platone afferma che:

Se per esempio uno mi chiedesse, a proposito di una qualsiasi di quelle arti di cui proprio ora ti facevo menzione: «Socrate, che cos’è l’aritmetica?» – gli risponderei, come tu poco fa, che è una delle arti che hanno la propria validità nel discorso. E se mi domandassero ancora: «Fra queste, a quale specifico oggetto si riferisce?» – risponde­rei che si riferisce al pari e al dispari, qualunque possa essere la quantità particolare di ciascuno di essi.

Se poi ancora mi si chiedesse: «Quella che chiami ‘calcolo’ che arte è?» – rispon­derei che anche il calcolo è una delle arti la cui validità è del tutto nel discorso. E se di nuovo mi interrogassero: «In riferimento a quale specifico oggetto?» – risponderei, come i redattori di decreti nell’assemblea del popolo, che «per tutto il resto» il calcolo è come l’aritmetica, perché si riferisce allo stesso oggetto, cioè al pari e al dispari: ma differisce su questo punto: che il calcolo considera il valore numerico che hanno il pari e il dispari, sia ciascuno in sé, sia nelle loro relazioni reciproche.[6]

L’aritmetica è l’arte del numero, dell’ἀριθμός, in quanto ogni volta che si deside­ra determinare il numero di un gruppo di oggetti, occorre conoscere i numeri, vale a dire saper contare, come Platone afferma nella Repubblica:

Quella comunissima che distingue l’uno, il due e il tre: intendo insomma la scienza dei numeri e del calcolo»… «Ed è proprio ridicola la figura che ogni volta Palamede fa fare ad Agamennone nelle tragedie: non hai capito che è lui, l’inventore dell’aritmetica, a disporre i soldati in campo davanti a Ilio e a contare le navi e tutto il resto, come se prima di lui nessuno li avesse mai contati e Agamennone, a quanto pare, non sapesse neppure quanti piedi avesse, dato che non sapeva contare?[7]

Conoscere l’uno, il due e il tre è compito della scienza dell’ἀριθμός e del λογισμός. Qui numero e calcolo sono ancora associati, ma poco dopo Platone usa il solo verbo ἀριθμεῖν con il significato di contare. Tutte le volte, invece, che vogliamo modificare numero del suddetto gruppo di oggetti, dobbiamo ricorrere alle operazioni, per esem­pio una sottrazione o una divisione ecc. Ma per poter applicare le operazioni o proce­dere ad un qualsiasi calcolo, occorre conoscere quali relazioni intercorrano tra i numeri dato che essi le implicano necessariamente. Questa scienza si chiama arte del calcolo o logistica. Sia l’aritmetica sia la logistica riguardano il pari e il dispari, vale a dire, in sostanza, tutti i numeri, tuttavia la prima si limita ad essere semplice conoscenza dei numeri, la seconda, invece, è anche conoscenza delle relazioni dei singoli numeri con se stessi e tra di loro. Nel Carmide Platone dà una definizione della logistica analoga a quella del Gorgia. Tuttavia, come si è accennato sopra, Platone distingue talvolta un’aritmetica e logistica dei molti e un’aritmetica e logistica dei filosofi, vale a dire un’aritmetica e logistica pratiche ed un’aritmetica e logistica teoretiche:

L’aritmetica in primo luogo, non bisogna forse dire che una è quella dei più, un’altra è quella dei filosofi?» «E come, allora, si può distinguere un’aritmetica dall’al­tra?» «Non è una distinzione da poco, Protarco. Infatti, tra quelli che si occupano del numero, gli uni numerano unità disuguali, come due eserciti, due buoi, due oggetti qualsiasi, i più piccoli o anche i più grandi di tutti; gli altri, invece, non accetterebbero mai di associarsi a questi, se non si stabilisce che nessuna delle innumerevoli unità è diversa da un’altra»… «Prendiamo la tecnica del calcolo e quella della misurazione utilizzate dai lavoratori delle costruzioni e dai commercianti, poste in confronto con quelle usate nella filosofia quando si occupa di geometria e di calcoli esatti: di ciascuna bisogna dire che è una sola o dobbiamo considerarla duplice?» «Sulla base dei discorsi precedenti, personalmente voterei a favore della tesi che ciascuna di esse è duplice.[8]

Le discipline pratiche usano unità non indistinte tra di loro, vale a dire numeri concreti, mentre le discipline teoretiche si fondano soltanto su unità tutte uguali tra di loro, concepite quindi come indifferenziate. La logistica pratica è legata all’attività dei mercanti[9] e alle necessità della vita quotidiana, e insieme alla ἀριθμητική, l’arte della misura, e all’aritmetica è usata nella costruzione e nel commercio. La logistica teoretica, invece, è interpretata come teoria dei rapporti tra numeri e delle proporzioni.


[1] Plat., Resp. VII, 522c.

[2] Plat., Gorg. 451b-c; Charm. 165e-166a, dove Platone dà una definizione della sola logistica.

[3] Plat., Pol. 259e-260b.

[4] Plat., Phil. 56e; Prot. 356a, dove di menzionano μετρητιή e λογιστική.

[5] Plat., Phil. 56d-57d; Resp. VII, 525b-d; Leg. VII, 817e-819d.

[6] Plat., Gorg. 451b-c (trad. di Stefania Nonvel Pieri 1991).

[7] Plat., Resp. VII, 522c (trad. di G. Lozza 1990).

[8] Plat., Phil. 56d-57a (trad. di M. Migliori 1995). Si legga anche il seguente passo della Repubblica (VII, 522c-d, trad. di G. Lozza 1990): «Ma tutta la scienza del calcolo e l’aritmetica riguardano i numeri?» «Certo.» «E sembra che queste discipline attirino verso la verità». «In misura eccezionale!» «Dunque una delle discipline che cerchiamo è questa. Infatti un guerriero deve apprenderla per la tattica, un filosofo per raggiungere l’essere ed emergere dal divenire; altrimenti non sarà mai un esperto di aritmetica».

[9] Plat., Resp. VII, 525c.


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 13-16