La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (6)

Le fasi del procedimento messo in opera dal demiurgo sono ispirate a criteri diversi: la prima e la seconda a criteri aritmetici, la terza a criteri musicali. Ora, con numeri e con l’aritmetica si ha a che fare anche nella terza fase, quella musicale: la musica infatti è qui intesa razionalisticamente come analisi e studio di rapporti fra suoni, non come pratica empirica, come esecuzione di brani su uno strumento. Con la musica invece le prime due fasi non sembrano dal canto loro intrattenere una relazione altrettanto stretta: tanto è vero che, come notano tutti i commentatori, la gamma indicata dall’intervallo 1 ~ 27, che corrisponde a quattro ottave, una quinta, un tono, non ha in musica nessun significato; è per di più un’estensione totalmente sconosciuta alla pratica strumentale antica oltre che superiore alle possibilità canore della voce umana più allenata. In secondo luogo, nella seconda fase il riempimento degli intervalli avviene per mezzo di due ‘medie’: si fa uso cioè di un concetto squisitamente aritmetico, del quale Platone ha già parlato, qualificandolo come potente vincolo tra gli elementi del corpo del mondo. Esse sono state quindi introdotte con la loro consueta funzione: quella di legame.

Dietro la scelta di Platone vi è l’intento di assicurare la massima coesione all’anima. Così, credo, si spiega la presenza dell’1, il parìmpari, principio della serie numerica perché capace di produrre il pari e il dispari; del 2, il primo pari; del 3, il primo dispari; del 4 e del 9, primi quadrati nella serie rispettivamente dei pari e dei dispari; dell’8 e del 27, primi cubi delle due serie. E’ noto infatti che per i greci la distinzione tra pari e dispari non era un che di secondario come può apparire a noi, ma un carattere fondamentale della successione numerica: tanto importante che alcuni usavano attribuire qualità opposte a ciascuna delle due serie. Il coinvolgimento, nella strutturazione dell’anima, di “rappresentanti” di tutt’e due le serie, del loro principio e delle forme risultanti dalle prime ed elementari operazioni con essi (cioè quadrati e cubi) può caricarsi allora di un significato non trascurabile. Tutti i numeri prendono parte, attraverso i loro “rappresentanti”, all’organizzazione del materiale psichico grezzo; l’inserzione delle medie negli intervalli dà luogo a proporzioni particolarmente efficaci nell’opera di coesione, appunto perché costituite da numeri particolari, che rimandano all’intera successione numerica, di cui costituiscono, per così dire, l’ossatura e l’intelaiatura.

Dal riempimento degli intervalli di 4/3 si ottengono nelle due serie risultati diversi. L’operazione sembra avere un senso unicamente nel caso degli intervalli doppi: individua infatti ciascuno dei suoni di tre ottave, per giunta del modo dorico, il più amato da Platone. La struttura dell’anima non è così solo aritmetica, ma anche musicale: un’aggiunta di ordine e compattezza che corona il lavoro del demiurgo, comportando l’esaurimento del materiale psichico frutto della mescolanza. Quanto agli intervalli tripli, ritengo che il riempimento non abbia effettivamente, proprio come sembra, un significato preciso: la loro funzione si esaurisce nelle due sezioni propriamente matematiche, dove invece giocano un ruolo indispensabile. Questo fatto si giustifica appunto con la preminenza delle considerazioni aritmetiche su quelle musicali.

Il demiurgo, organizzata l’anima, si accinge a nuove operazioni di divisione. Questa volta taglia in due il composto nel senso della lunghezza, ottenendo così due strisce; poi le sovrappone a x e le piega a cerchio. Infine suddivide una delle due strisce in sei parti, ricavando sette cerchi, disuguali secondo gli intervalli doppi e tripli: sono i cerchi, ossia le orbite, dei pianeti. Come vuole Brisson, il demiurgo alle prese con l’anima è paragonabile a un fabbro che costruisce una sfera armillare (κρικωτὴ σφαῖρα), allora si può dire che in questo momento ha inizio il taglio dei cerchi, delle armille (κρίκοι). La prima operazione è stata la fusione dei metalli (cioè di essere, identico e diverso) in un crogiolo; da qui si è ricavata una lega (un materiale psichico grezzo, fuor di metafora). Ora, così come si trova, questa lega non è utilizzabile: perché lo diventi è necessario temprarla: appunto all’operazione di tempra, che rende compatto e pronto all’uso il metallo, si può assimilare la divisio animae. Ora l’anima, resistente perché temprata, è pronta all’uso: potrà così «sorreggere e governare la natura», espressione da cui, secondo l’etimo proposto in Cratilo 400 b 1-2, deriverebbe il termine ψυκή):


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 24-32
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La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (5)

L’inserzione delle medie armonica e aritmetica nei primi intervalli dà origine a nuovi intervalli, tutti di 3/2, 4/3, 9/8: ebbene, ciascuno di questi rapporti (λόγοι) ha un preciso significato in campo musicale. 3/2 (ἡμιόλιος λόγος) indica infatti il rapporto dell’intervallo detto dai greci διὰ πέντε: in termini moderni è il rapporto dell’intervallo di quinta, ossia la distanza tra le note do e sol (pari a cinque, contando anche le note di partenza e arrivo: do-re-mi-fa-sol); 4/3 (ἐπίτριτος λόγος) è il rapporto dell’intervallo detto διὰ τεσσάρων: cioè il nostro intervallo di quarta, ossia la distanza tra do e fa (pari a quattro note); 9/8 (ἐπόγδοος λόγος), infine, è il rapporto dell’intervallo detto τονιαῖον: corrisponde al rapporto del nostro intervallo di tono, ossia ciascuno degli intervalli do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si. Nella terza operazione poi è introdotto il rapporto di un nuovo intervallo: 256/243. Questo, chiamato in greco λεῖμμα, corrisponde a un dipresso al nostro semitono, cioè alla distanza fra le note mi-fa e si-do[1].

Ancora: l’intervallo di quarta, espresso dal rapporto 4/3, è, in termini moderni, la distanza tra la note do e fa; e questo intervallo è costituito da un tono (do-re), un tono (re-mi) e un semitono (mi-fa). Matematicamente si avrà allora: 9/8·9/8·256/243 = (9/8)2·256/243 = 4/3. L’intervallo di quinta, espresso dal rapporto 3/2 è, in termini moderni, la distanza tra le note do e sol; quest’intervallo è costituito da un tono (do-re), un tono (re-mi), un semitono (mi-fa) e un tono (fa-sol). Matematicamente: 9/8·9/8·256/243·9/8 = (9/8)3·256/243 = 3/2. Da qui si capisce perché i greci definivano il tono come la distanza tra una quarta e una quinta (matematicamente: 4/3·9/8 = 3/2 e 3/2:9/8 = 4/3).

Inoltre: l’intervallo che noi chiamiamo ottava e i greci διὰ πασῶν deriva dall’unione dei due intervalli di quarta e quinta[2]. Cioè: la distanza tra do e do[3] si copre aggiungendo a una quarta (do-re-mi-fa) una quinta (fa-sol-la-si-do). Il risvolto matematico è interessante: 4/3·3/2 = 2. 2, cioè 2/1, è il rapporto che esprime l’intervallo di ottava.

Esiste un ultimo intervallo da esaminare: è l’intervallo di dodicesima, in greco διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. Come traspare dal nome greco, esso deriva dall’unione di un’ottava e una quinta: corrisponde, in termini moderni, all’intervallo do-sol. Matematicamente: 2/1·3/2 = 3.

Torniamo a considerare, alla luce di tutto questo, i primi sette numeri forniti da Platone: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. L’intervallo 1 ~ 27 comprende quattro ottave (il cui rapporto è 2: 1 ~ 2, 2 ~ 4, 4 ~ 8 e 8 ~ 16), una quinta (16/24, cioè 2/3) e un tono (24/27, cioè 8/9). Tradotto in termini musicali, si ha:

1      2       3     4      9     8      27

mi’’’ mi’’    la’     mi   re    mi    sol

E, in forma di lambda:

1 mi’’’

2 mi’’      3 la

4 mi                       9 re

8 mi                                    27 sol

Da quest’ultima scrittura risulta subito evidente che le due serie, dei pari e dei dispari, procedono secondo criteri diversi: la prima dà luogo a una successione di ottave (rapporto di 2 a 1: gli intervalli doppi di cui all’inizio); la seconda a una successione di dodicesime (rapporto di 3 a 1: gli intervalli tripli).

Si tratta ora di vedere come la situazione muti con il riempimento degli intervalli di 4/3: quali aggiunte portino cioè alle successioni di ottave e dodicesime le nuove note individuate tramite l’operazione di riempimento.

Conviene richiamare subito l’attenzione sul fatto che gli intervalli di 4/3 sono distribuiti nelle due serie in modo disuguale: in quella dei pari ce ne sono sei, mentre in quella dei dispari sono la metà, tre. Questa apparente stortura ha imbarazzato lettori antichi e moderni, molti dei quali hanno ritenuto di dovervi porre rimedio con vari stratagemmi. Per conto mio, non credo sia lecito fare violenza al testo, in nessun modo. Ecco allora il risultato che si ottiene seguendo scrupolosamente le prescrizioni platoniche:

1       9/8     81/64      4/3      3/2     27/16     243/128     2

mi’’’   re’’’   do’’’       si’’       la’’     sol’’         fa’’           mi’’

2       9/4     81/32     8/3       3        27/8      243/64       4

mi’’    re’’    do’’        si        la      sol       fa            mi’

4       9/2     81/16     16/3      6       27/4      243/32       8

mi     re     do         si         la      sol         fa             mi

clip_image004clip_image005clip_image006clip_image005[1]clip_image007clip_image005[2]clip_image007[1]

    9/8          9/8            256/243              9/8            9/8             9/8         256/243

clip_image008clip_image009

                            3/2                                                        4/3

2/1

In questo caso, essendo 2 il fattore di moltiplicazione, l’intervallo tra il primo e l’ultimo termine di ogni riga e fra ciascun termine e il suo omologo nella riga successiva è pari a un’ottava. Il riempimento, dal canto suo, ha prodotto l’individuazione di ciascuna delle note di ogni ottava: la regolarità della serie dei pari è cioè confermata e anzi, per così dire, arricchita. Forse non è un caso, poi, che ottave costituite da una cosiffatta successione discendente di toni e semitoni corrispondano alla scala detta ‘dorica’, particolarmente pregiata da Platone per motivi etici[4].

Quanto alla serie dei dispari, il riempimento produce delle conseguenze diverse, che possono apparire deludenti. Si ha infatti:

1      3/2      27/16     243/128      2         3

mi’’’  la’’      sol’’       fa’’            mi’’      la

3      9/2      81/16     729/128      6         9

la    re       do        sib             la        re

9     27/2     243/16    2187/128    18        27

re    sol       fa          mib            re        sol

    3/2    9/8      9/8         256/243     3/2

                     2/1                        3/2

                  3/1

Questa volta, essendo 3 il fattore di moltiplicazione, l’intervallo tra il primo e l’ultimo termine di ogni riga, come pure quello fra ciascun termine e il suo omologo nella riga successiva, è pari a una dodicesima.


[1] I nomi che ho menzionato entrarono nell’uso in un’epoca relativamente tarda, ma sono quelli che poi si imposero nella teoria musicale greca: per questo li ho ricordati. Platone si riferisce agli intervalli attraverso un numero, che indica il rapporto tra la lunghezza delle corde pizzicate per produrre i due suoni la cui ‘distanza’ è l’intervallo stesso. Ad esempio, chiamando l’intervallo a noi noto come ‘quarta’ ἐπίτριτος, cioè ‘di 4/3’, il greco intende che per produrre quell’intervallo è necessario pizzicare successivamente due corde la cui lunghezza ha lo stesso rapporto che intercorre tra 4 e 3. Siccome questi numeri frazionari, per quanto scomodi da maneggiare, hanno l’importante significato musicale di cui si è detto, è bene conservarli. Faccio quest’osservazione (che trovo anche in Tiby, art. cit., p. 52 nota 12) perché fin dall’antichità, appunto per evitare le frazioni, si è fatto ricorso a dei multipli. Plutarco, An. Procr. 1020 c, ci informa che Crantore (l’uso risale quindi al primo commentatore del Timeo) prendeva come primo termine della serie il 384, trovandosi poi a dover moltiplicare per questo fattore tutti gli altri numeri: per evitare di lavorare con le frazioni, si finiva così per avere a che fare con le decine di migliaia, per giunta con lo svantaggio di perdere completamente «la percezione dei rapporti e il senso di corrispondenza che esiste tra le varie righe» (Tiby, ibid.). L’esempio di Crantore è stato seguito anche da alcuni moderni, come Boechk e Rivaud; dal canto mio, credo che le considerazioni appena fatte stiano con forza contro quest’uso.

[2] Che l’ottava fosse concepita dai greci come congiunzione di quarta e quinta (o, il che è lo stesso, come congiunzione di due tetracordi [= quarte] separati da un tono) si rispecchia nell’interessante nome che originariamente le fu attribuito: a(rmoni¿a, cioè, appunto, ‘congiunzione’. Cfr. Szabó, op. cit., p. 121, con rinvio alla letteratura. Per tutte le questioni di teoria musicale qui discusse si vedano in particolare M. L. West, Ancient Greek Music, Oxford 1992, e J. Landels, Music in Ancient Greece and Rome, London and New York 1999. Una raccolta di testi antichi su questioni musicali provvista di commento è Greek Musical Writings, ed. by A. Barker, Vol. I: The Musician and His Art, Cambridge 1984; vol. II: Harmonic and Acoustic Theory, Cambridge 1989 (quest’opera tuttavia ha il difetto di non riportare l’originale Greco dei testi discussi).

[3] La scrittura do’ indica, rispetto a do, che la prima nota appartiene a un’ottava superiore (più acuta): il numero degli apici posto dopo il nome delle note si riferisce dunque alle loro altezze reciproche. Uguale scopo ha il maiuscoletto nel caso della nota sol.

[4]Cfr. Resp. 399 a-b. Nel Lachete, a 188 d, la scala dorica è esaltata in quanto μόνη Ἑλλενικὴ ἁρμονία. Da notare anche questo: la stessa scala, considerata in senso ascendente, presenta la successione di toni e semitoni della nostra scala maggiore.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 20-24

La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (4)

(c) 36 a 6 – b 6

Venutisi così a creare negli intervalli precedenti, per mezzo di questi legami, dei nuovi intervalli, pari a 3/2, 4/3 e 9/8, il demiurgo riempì con l’intervallo di 9/8 tutti gli intervalli di 4/3, lasciando avanzare in ciascuno una porzione, il cui valore in numeri è dato dal rapporto tra 256 e 243. A questo punto, l’impasto frutto di mescolanza, dal quale il demiurgo aveva ritagliato queste porzioni, era ormai completamente esaurito.

Nella terza e ultima fase della divisio animae, alle considerazioni aritmetiche si sovrappongono considerazioni musicali: sempre coi numeri si ha a che fare, ma sono ora numeri con precisi significati musicali.

A coronamento dell’opera, il demiurgo agisce così: servendosi dell’intervallo di 9/8, egli procede al riempimento di tutti gli intervalli di 4/3 generatisi in precedenza. Il riempimento non è però totale: in ciascuno degli intervalli di 4/3 viene lasciato un intervallo supplementare, pari a 256/243. In tal modo tutto il “composto-anima” è esaurito.

Come si vede, gli intervalli di 4/3 sono nove in tutto: sei nella prima serie e tre nella seconda. Platone raccomanda di riempire quelli e solo quelli: così va fatto, trascurando dunque gli altri intervalli, di 3/2 e 9/8, a proposito dei quali egli non fornisce indicazioni[1].

Ora, riempire gli intervalli di 4/3 servendosi dell’intervallo di 9/8 significa trovare, in ciascuno degli intervalli da riempire e partendo dal primo estremo, tutti quei numeri, compresi tra gli estremi dell’intervallo stesso, che “distino”, cioè che siano in rapporto di, 9/8. Alla fine, poi, deve avanzare un intervallo di 256/243: questo sarà dunque il rapporto tra l’ultimo dei numeri trovati e il secondo degli estremi dell’intervallo.

Il primo intervallo di 4/3 è quello compreso fra 1 e 4/3; 1 e 4/3 sono dunque gli estremi tra cui devono essere inseriti i numeri “di riempimento”. Il primo numero che, partendo da 1, stia con 1 in rapporto di 9/8 è appunto 9/8. Ora, 9:8 = 1,125 mentre 4/3 = 1,3: 9/8, essendo minore di 4/3, è compreso nell’intervallo d’inizio: sarà dunque il primo numero cercato.

Si tratta ora di trovare un secondo numero, che “disti”, cioè sia in rapporto, di 9/8 con il numero appena ottenuto. Lo si ricava moltiplicando quest’ultimo, cioè 9/8, per 9/8: il risultato è 81/64. Ora, 81:64 = 1,265625: anche 81/64 è perciò minore di 4/3 (che vale 1,3) e quindi è il secondo numero cercato.

Per il terzo numero si continua allo stesso modo: si tratterà di moltiplicare il numero appena ottenuto, 81/64, per 9/8. Il risultato di quest’operazione è 729/512. Ora, 729:512 = 1,423828125: questo numero è maggiore di 4/3 (che vale 1,3), perciò è da scartare.

Due sono pertanto i numeri compresi nell’intervallo di 4/3: si tratta di 9/8 e 81/64. A questo si deve aggiungere ora il resto, cioè l’intervallo di 256/243, che, come detto, è la “distanza”, cioè il rapporto, fra l’ultimo numero trovato (nella fattispecie 81/64) e l’ultimo estremo (qui 4/3). Infatti: 81/64 · 256/243 = 4/3. Ricapitolando:

1                x1                x2                4/3 
       9/8            9/8        256/243

x1 = 1·9/8 = 9/8
x2 = 9/8·9/8 = 81/64

Il secondo intervallo di 4/3 è quello compreso fra 3/2 e 2. Usando lo stesso procedimento si ha:

3/2                x1                x2                 2
         9/8               9/8             256/243

x1 = 3/2 · 9/8 = 27/16
x2 = 27/16 · 9/8 = 243/128

Si trova infatti che tutti gli intervalli di 4/3 si riempiono con due soli numeri che soddisfano le condizioni richieste. Eseguendo tutte le operazioni del caso ed inserendo i risultati si ottengono queste due nuove serie:

1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2, 9/4, 81/32, 8/3, 3, 27/8, 243/64, 4, 9/2, 81/16, 16/3, 6, 27/4, 243/32, 8

e

1, 3/2, 27/16, 243/128, 2, 3, 9/2, 81/16, 729/128, 6, 9, 27/2, 243/16, 2187/128, 18, 27


[1] C’è chi ha riempito tranquillamente anche gli intervalli di 3/2, facendo leva sul fatto che anche in quelli sono compresi intervalli di 4/3 (perché, come si chiarisce infra, 3/2=4/3·9/8: quindi un intervallo di 3/2 può essere scomposto in due intervalli, uno dei quali pari appunto a 4/3). Ancora una volta non si può fare a meno di notare la leggerezza con cui l’operazione è stata compiuta. Boeckh, op. cit., p. 159, scrive ad esempio: «Nun sollen alle Intervalle Diatessaron (4/3) ausgefüllt werden mit 9/8 oder Tönen. Hier verschweigt Platon, daß zuerst die in den dreifachen Intervallen gefundenen 3/2 oder Diapente ausgefüllt werden müssen mit Diatessaron und Ton, was sich aber von selbst versteht». Sarà poi vero che Platone, su questo punto, è reticente? Credo che leggendo attentamente il testo si possa dare alla questione una risposta abbastanza sicura. La prima frase elenca uno per uno, chiamandoli “per nome”, tutti i tipi di intervalli ottenuti con la precedente operazione (cioè con l’inserzione delle medietà). Sono gli intervalli pari a 3/2, 4/3 e 9/8. Ebbene, subito dopo averli enumerati tutti e passati, per così dire, in rassegna, il testo continua citandone uno solo e descrivendo l’operazione di cui esso è oggetto. Chiunque dica: «avendo ottenuto dalle precedenti operazioni tre elementi, ab, a, b, si ora prendano tutti gli a e si compiano queste altre operazioni…», intende evidentemente che appunto solo gli a subiranno le successive operazioni, mentre gli ab e i b non verranno considerati. Questo è, a mio giudizio, il significato del testo platonico: solo gli intervalli di 4/3 devono perciò subire il riempimento. Lo stesso errore di Boeckh commette anche G. Kayas, L’âme de l’univers et la musique dans le Timée de Platon (34b et ss.), «Bulletin de l’Association Guillaume Budé», (1974) pp. 287-329, la cui proposta di interpretazione trovo pertanto da rigettare.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 17-20

La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (3)

L’anima è stata in precedenza divisa in sette porzioni (μόρια) secondo rapporti ben precisi (le due progressioni): in tal modo è stato introdotto il primo elemento di ordine nella massa altrimenti informe prodotta dalla mescolanza di essere, identico e diverso. Le sette porzioni si trovano però separate l’una dall’altra, e il “vuoto” che le separa deve essere eliminato, pena la mancanza di coesione interna dell’anima stessa. Di qui la necessità di costituire dei legami capaci di connettere, in modo durevole e ovviamente ordinato, quelle parti ancora irrelate. I legami che servono a questo scopo sono di tipo matematico: sono, come i legami che tengono assieme il corpo del mondo (cfr. 31 b – 32 c), delle proporzioni (ἀναλογίαι)[1]. Le quali per Platone non costituiscono un semplice rapporto matematico, ma appunto un potente tipo di legame (δεσμός, σύνδεσις); anzi, il tipo di legame che αὐτὸν καὶ τὰ συνδούμενα ὅτι μάλιστα ἓν ποιεῖ (31 c 2-3)[2]. Di esse dunque il demiurgo si servirà per rendere compatte al massimo grado le parti d’anima divise.

Negli intervalli che separano queste ultime egli pone in mezzo altre porzioni d’anima, staccandole dal composto avanzato dopo la prima partizione (μοίρας ἔτι ἐκεῖθεν ἀποτέμνων)[3]. Le nuove parti sono appunto scelte ἀνὰ λόγον (37 a 4), cioè secondo criteri di proporzione. Il risultato è che in ogni intervallo vengono a essere prodotte due ‘medie’ (μεσότητες)[4], così definite: una supera l’estremo minore ed è superata dall’estremo maggiore di un’uguale frazione di ciascuno degli estremi stessi; l’altra supera l’estremo minore ed è superata dal maggiore della stessa quantità.

Benché Platone non attribuisca loro alcun nome, è chiaro che egli allude, nel primo caso, alla media cosiddetta armonica e, nel secondo, alla media aritmetica. Di quest’ultima la formula, come tutti sanno, è (a+b)/2. Della prima si ricava facilmente: (x – a)/(b + x) = a/b, cioè x = 2ab/a+b. Tra 6 e 12, ad esempio, la media aritmetica è (6+12)/2, cioè 9, che supera 6 ed è superato da 12 della stessa quantità, ovvero 3; la media armonica è 2·6·12/(6+12), cioè 144/18, che dà 8, numero che supera 6 ed è superato da 12 della stessa frazione di 6 e di 12, ovvero 1/3: infatti 8 = 6+2, con 2 = 1/3·6; 8 = 12 – 4, con 4 = 1/3·12.

Seguendo le indicazioni di Platone, dal riempimento degli intervalli doppi si ottiene questa serie:

1, 4/3, 3/2, 2, 8/3, 3, 4, 16/3, 6, 8

Dal riempimento degli intervalli tripli deriva quest’altra serie:

1, 3/2, 2, 3, 9/2, 6, 9, 27/2, 18, 27

Ebbene, se, come indica Platone[5], si considerano i rapporti che legano tra loro i numeri delle due serie, si scopre che sempre si ripetono questi tre tipi di rapporti: 3/2, 4/3 e 9/8. Infatti:

1, 4/3, 3/2, 2, 8/3, 3, 4, 16/3, 6, 8

4/3 9/8 4/3 4/3 9/8 4/3 4/3 9/8 4/3

e

1, 3/2, 2, 3, 9/2, 6, 9, 27/2, 18, 27[6]

3/2 4/3 3/2 3/2 4/3 3/2 3/2 4/3 3/2

Da questa scrittura è facile vedere come, inserendo tra i precedenti i nuovi numeri, si ottengano due serie continue costituite da tre proporzioni, in ciascuna delle quali ogni rapporto è uguale a qualunque altro: nella prima il valore dei rapporti è pari a 4/3, nella seconda a 3/2. Infatti:

1 : 4/3 = 3/2 : 2 = 2 : 8/3 = 3 : 4 = 4 : 16/3 = 6 : 8

e

1 : 3/2 = 2 : 3 = 3 : 9/2 = 6 : 9 = 9 : 27/2 = 18 : 27


[1] Il termine ἀναλογία a qui non compare, è vero; ma a 37 a 4, ricapitolando con una breve formula tutto il lavoro compiuto dal demiurgo, Platone dice che l’anima è stata ἀνὰ λόγον μερισθεῖσα καὶ συνδεθεῖσα, «secondo proporzione divisa in parti poi legate assieme»: si tratta di un’affermazione capitale, che getta una luce chiarificatrice su tutto quanto è stato detto in precedenza e che non mi pare sia stata tenuta nel debito conto. (La questione ha pure un interessantissimo risvolto in materia di storia del lessico intellettuale. Infatti è proprio traducendo il Timeo platonico che Cicerone coniò in latino il termine proportione: cfr. Timaeus seu de universo, 13 [= Tim. 31 c 2-4]: «vinculorum id est aptissimum atque pulcherrumum, quod ex se atque de is quae stringit quam maxime unum efficit. Id optime adsequitur quae Graece ἀναλογία, Latine – audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novatur – comparatio proportiove dici potest», e Timaeus, 27 [= Tim. 37 a 4]: «temperatione trium partium pro portione compacta»).

[2] Il riferimento a queste righe, e a quelle immediatamente successive (31 c 4 – 32 c 4), mi sembra a sua volta illuminante. Pare proprio che il demiurgo compia operazioni affini sul corpo e sull’anima del mondo, e del resto il suo scopo è tutt’e due le volte il medesimo: conferire il massimo di compattezza e salda unità ad entrambi. Nel caso del corpo, egli opera con gli elementi, quattro di numero, che costituiscono i termini di due proporzioni (fuoco : aria = aria : acqua; aria : acqua = acqua : terra), ponendone in mezzo due e lasciando come estremi gli altri. Così rende il corpo del mondo δι’ἀναλογίας ὁμολογῆσαν, «compatto per mezzo della proporzione». Allo stesso modo, per quanto riguarda l’anima, il demiurgo ottiene delle proporzioni, e quindi dei legami, prendendo delle parti d’anima e ponendole in mezzo ad altre parti.

Ancora la somiglianza con quanto avviene nel caso del corpo del mondo può spiegare il motivo per cui è necessario riempire gli intervalli ottenuti dopo la prima partizione: quegli intervalli, doppi e tripli, sono composti ciascuno da due termini, ma «non è possibile che due soli termini formino una bella composizione: bisogna che in mezzo vi sia un legame, che li unisca entrambi» (31 b 8 – 31 c 2).

[3] Queste parole di Platone confermano, se ce ne fosse ancora bisogno, che il tipo di operazione compiuta dal demiurgo non ha nulla a che vedere con il segnare intervalli su una “striscia d’anima”. Egli stacca parti da un composto iniziale, la cui quantità diminuisce progressivamente fino ad esaurirsi. Il testo è chiaro e davvero non sembra ammette letture in altro senso.

[4] Nuova corrispondenza con quanto avviene per il corpo del mondo. A 32 b 3 Platone precisa che c’è bisogno di due μεσότητες tra gli estremi, perché τὰ στερεὰ […] δύο ἀεὶ μεσότητες συναρμόττουσιν «sempre due medietà congiungono i corpi solidi» (cioè acqua, aria, terra e fuoco). Da questa notazione si ricava che non solo le proporzioni, ma prima ancora le medietà, generatrici di proporzioni, hanno il compito di congiungere.

[5] L’indicazione si trova subito sotto, a 36 a 6, cioè nella prima riga del brano discusso nella sezione (c).

[6] Come si vede, alcuni numeri compaiono in entrambe le serie: oltre all’1, sono 3/2, 2, 3 e 6. Per questo motivo, moltissimi commentatori hanno ritenuto di poter eliminare i termini comuni e ottenere così un’unica successione. Notevole è la disinvoltura con cui quest’operazione è stata compiuta: valga per tutti il caso di Taylor, A Commentary on Plato’s Timaeus, Oxford 1962, p. 138, il quale, dopo aver accolto la scrittura separata delle due serie, afferma tranquillamente: «For convenience’s sake we may now write them [scil. the numbers] as one series, arranging its terms in the natural ascending order». Sembra che lo studioso inglese – ma, come ho detto, si tratta di un caso fra tanti, che cito come esempio di una tendenza molto frequente; ebbene, sembra che lo studioso inglese consideri le due scritture come equivalenti e la scelta tra l’una o l’altra come una pura questione di gusti o di ‘comodità’. Ora, questo punto non va affatto sottovalutato: esiste una grande differenza tra le due disposizioni, perché considerare o no dei numeri in calcoli come quelli di cui alla sezione (c) cambia evidentemente – e non di poco – il risultato (si veda, a questo proposito, la conclusione cui perviene M. von Perger, Die Allseele in Platons Timaios, Stuttgart und Leipzig 1997, p. 108, il quale a sua volta fonde le due serie). Per adottare una scrittura diversa, che ha influenza sul risultato delle operazioni matematiche e può quindi orientare tutta l’interpretazione del passo, bisogna avere fondati motivi: non si può certo fare appello alla comodità (o passare dall’una all’altra sic et simpliciter, come fanno Moutsopoulos, La musica nell’opera di Platone, Milano 2001, p. 378, e O. Tiby, Note musicologiche al Timeo di Platone, «Dioniso», xii (1949) pp. 33-55, p. 39; in questo senso maggiore coerenza dimostra Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, pp. 66 e 71, che dispone i numeri, dall’inizio alla fine, in una singola serie). Esiste al contrario un’ottima ragione per guardarsi dall’alterare la scrittura separata: i numeri che compaiono due volte non sono affatto degli inutili doppioni, avendo delle funzioni ben diverse nelle due successioni (ad es. 3/2 nella serie del due è media aritmetica tra 1 e 2, mentre nella serie del 3 è media armonica tra 1 e 3). L’ordine ottenuto dall’inserimento delle medietà non va perciò turbato, pena un sovvertimento generale dei risultati.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 13-17

La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (2)

La successione dei numeri 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27 presenta una difficoltà: l’ordine crescente in cui essi sono disposti è infatti turbato dall’anteposizione del 9 all’8. Ciò spinge a considerare diversamente la serie[1], la quale si trova in realtà costituita da due progressioni geometriche di base 2 e 3. Gli stessi numeri possono cioè scriversi così: 1, 21, 31, 22, 32, 23, 33, venendo quindi interpretati come potenze[2]. In tal modo l’incongruenza sparisce, poiché 32 è potenza minore – anche se valore maggiore – di 23. Da questo discende una conseguenza importante, il cui peso diverrà evidente più oltre: le due serie vanno intese e scritte separatamente l’una dall’altra. A Crantore, che per primo fra gli ἐξηγηταί antichi adottò la scrittura separata, risale l’idea di disporre le due serie – dette anche τετρακτύες, ossia ‘gruppi di quattro (numeri)’ – in forma di lambda, cioè di triangolo[3]: l’1 al vertice, la serie del 2 a sinistra, la serie del 3 a destra, così:

1

2    3

4         9

8               27

L’uno, come si sa, veniva considerato il principio di tutti i numeri, della serie dei pari e dei dispari: aggiunto a un pari dà infatti un dispari, aggiunto a un dispari dà un pari. Lo schema a forma di lambda nasce da quest’idea.

La ragione per cui Platone si ferma, nelle progressioni, alla terza potenza (23, 33) è – secondo l’opinione comune – che il cubo simboleggia le tre dimensioni del corpo: così strutturata, l’anima può, come deve, ordinare e conoscere ogni oggetto, a una, due o tre dimensioni.

 

(b) 35 c 2 – 36 a 5

Successivamente, il demiurgo riempì gli intervalli doppi e tripli, ritagliando, sempre da quell’impasto, delle altre porzioni, e mettendole in mezzo agli intervalli, di modo che in ciascuno di essi vi fossero due medietà: una superiore a uno degli estremi e inferiore all’altro della stessa quantità degli estremi stessi; l’altra superiore a uno degli estremi e inferiore all’altro della stessa quantità.

Tra i numeri di ognuna delle due τετρακτύες ci sono degli intervalli (διαστήματα o διαστάσεις)[4]. 1 e 2, 2 e 4, 4 e 8 sono separati da «intervalli doppi», essendo ciascun numero il doppio del precedente; 1 e 3, 3 e 9, 9 e 27 sono separati da «intervalli tripli», essendo ciascun numero il triplo del precedente[5].

Il demiurgo si appresta ora a «riempire» ciascuno di questi intervalli, ossia a trovare altri numeri, compresi fra gli estremi di ciascun intervallo, che in qualche modo colmino il “vuoto” costituito dall’intervallo stesso[6]. Quest’operazione è della massima importanza.


[1] A. Boeckh, Über die Bildung der Weltseele im Timaeos des Platon, in August Boeckh’s Gesammelte Kleine Schriften, Bd. 3: Reden und Abhandlungen, hrsg. von F. Ascherson, Leipzig 1866, pp. 109-180, p. 162 nota 1, ritenne di poter sorvolare sul motivo di quest’anteposizione, giudicandolo «unwesentlich»; mentre secondo nella Notice a Platon, Timée-Critias, texte établi et traduit par A. Rivaud, Paris 1963, p. 43, Platone avrebbe qui invertito l’ordine «pour une raison qu’il n’indique pas». Per conto mio, questo punto non è né trascurabile né insondabile: l’inversione, credo, ha il preciso scopo di segnalare che il legame importante non è tra i nudi valori dei numeri, bensì tra i numeri considerati come potenze (così anche Brisson, Brisson, Le même et l’autre dans la structure ontologique du Timée de Platon. Un commentaire systématique du Timée de Platon, Paris 1974, p. 315 e, prima ancora, R. D. Archer-Hind, in The Timaeus of Plato, edited with introduction and notes by R. D. Archer-Hind, New York 1973 [I ed. London 1888], p. 108). Ciò pare confermato dalle espressioni con cui nel prosieguo del testo ci si riferisce ai numeri stessi: non li si menziona più “per nome”; si parla invece di ‘intervalli’ doppi e tripli.

[2] Alcuni studiosi, tra i quali A. E Taylor, A Commentary on Plato’s Timaeus, Oxford 1962, p. 137, e Brisson, ibid., pongono come primo termine della serie 20 e 30 (numeri che, come è noto, sono entrambi uguali a 1). Preferisco evitare quest’uso, dal momento che ai greci la nozione di ‘zero’ pare fosse sconosciuta: tanto più, quindi, l’operazione di elevamento a potenza con esponente zero.

[3] Cfr. Plutarco, An. Procr., 1027 d: «Il problema della disposizione riguarda la questione se tutti i numeri debbano essere collocati in un’unica linea, come pensava Teodoro, o piuttosto in una figura a forma di L, come Crantore, con il primo termine collocato al vertice e i numeri doppi e tripli disposti separati in due linee» (Plutarco, La generazione dell’anima nel Timeo, a cura di F. Ferrari e L. Baldi, Napoli 2002, nota 1). Lo stesso Plutarco esprime la sua preferenza per questa scrittura (cfr. 1017 b: Platone vuole che i numeri siano disposti ἐναλλὰς καὶ ἰδίᾳ, «in modo alternato e separatamente»); del medesimo avviso è Teone di Smirne (cfr. il cap. xxxviii dell’edizione francese curata da J. Dupuis: Théon de Smyrne, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, ed. par J. Dupuis, Paris 1892).

[4] Tra queste due parole non sembra esserci alcuna apprezzabile differenza di significato. A 43 d 5 si trova, con lo stesso valore, il termine ἀπόστασις (lì il discorso riguarda le anime razionali umane, e non l’anima del mondo; ma, avendo le prime la medesima struttura della seconda, è chiaro che ἀπόστασις, propriamente ‘distanza’, va inteso come sinonimo di διάστημα o διάστασις). Qualche parola in più merita διάστημα. Si tratta di un vocabolo molto importante, in quanto possiede un preciso significato tecnico sia in geometria sia in musica. Nell’ambito della geometria, esso designa la ‘distanza’. In musica, invece, διάστημα indica la distanza tra due suoni di altezza diversa, ossia l’‘intervallo’. Nel corpus dei dialoghi, il termine compare in alcuni luoghi con il significato di ‘intervallo musicale’ (cfr. ad es. Resp. VII 531 a, e Phil. 17 c 11). Credo che, nel passo del Timeo in esame, il valore della parola sia generico: ho scelto di seguire la consuetudine, traducendola con ‘intervallo’, perché, rispetto a ‘distanza’, ‘intervallo’ mi sembra indicare meglio ciò che sta (-στημα) in mezzo a due (δια-) oggetti qualsiasi, lo spazio che li separa, che poi sarà riempito. Soltanto più avanti nel testo al senso generico si sovrapporrà quello specifico e inequivocabile di ‘intervallo musicale’: e allora questa scelta di traduzione avrà il vantaggio di poter essere mantenuta, rispettando così l’identità dei termini in greco. Come ha mostrato A. Szabó, Le début des mathématiques grecques, Paris 1977, pp. 126-129, il termine διάστημα aveva, presso i pitagorici, il significato di ‘rapporto’ (mentre, com’è noto, ‘rapporto’ in greco si dice solitamente λόγος). Infatti: «dans les expériences acoustiques des Pythagoriciens, le mot διάστημα au sens de ‘segment’ désignait proprement la portion de corde placée au-dessus du canon qui était interceptée au moment où, après avoir pincé le monocorde entier, on produisait le deuxième ton d’un accord, ce qui était nécessaire pour obtenir un intervalle musical. Voilà pourquoi le mot qui signifiait proprement ‘segment’ a reçu aussi le sens d’‘intervalle musical’. Et puisque les extrémités (ὅροι) de ce segment correspondent à des numéros (nombres) sur le canon, le mot διάστημα a servi aussi a désigner le genre de ‘relation entre deux nombres’ que sont les rapports numériques des accords (12:6, 12:9, 12:8, etc.)». Leggendo il passo del Timeo in esame, è difficile sottrarsi all’impressione che Platone conoscesse – e avesse qui in mente – anche questo significato del termine.

[5] Che Platone voglia tenere distinte e separate le due successioni mi sembra trovare una conferma decisiva proprio in quest’espressione. Egli, come ho già rilevato supra, alla nota 9, parla d’ora in avanti sempre in termini di ‘intervalli’, non mai di numeri: e appunto gli intervalli doppi e tripli, non i numeri, sono oggetto delle successive operazioni di riempimento compiute dal demiurgo (né, del resto, avrebbe senso parlare di ‘riempimento’ a proposito di semplici numeri). Disponendo i numeri in un’unica serie, come fa Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, p. 66 (il quale peraltro crede di poter sorvolare sull’anteposizione del 9 all’8), si ottiene un risultato completamente diverso rispetto a quello indicato da Platone: gli intervalli tra 2 e 3, 3 e 4, 4 e 9, 8 e 27 non sono né doppi né tripli.

[6] ‘Colmare’ è detto in greco συμπληρόω. Si tratta di un verbo composto con la preposizione σύν-, come molti usati nel Timeo a descrivere l’attività artigianale del demiurgo (il quale viene così ad essere fondamentalmente un ‘assemblatore’). Ora, è noto che σύν, come preposizione e come preverbio, esprime l’idea contraria rispetto a διά: divaricazione e distanziamento da una parte, congiunzione dall’altra. Non è senza significato allora che Platone adoperi συμπληρόω al posto del semplice ληρόω: ‘colmare’ gli intervalli significa avvicinare gli estremi staccati, legare assieme, a due a due, i termini prima separati.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 10-13

La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (1)

L’oscurità del Timeo platonico è, si può dire, leggendaria; essa fu del resto riconosciuta e sottolineata fin dall’antichità. Gli stessi discepoli e immediati successori di Platone alla guida dell’Accademia, Speusippo e Senocrate, si dedicarono entrambi, fra le altre cose, all’interpretazione di quest’opera; il primo a comporre opere dedicate espressamente alla delucidazione dei luoghi più ardui del dialogo fu Crantore di Soli, allievo di Senocrate e quindi ancora piuttosto vicino a Platone. Il bisogno di fare i conti con il Timeo si manifestò dunque assai presto e continuò ininterrotto per secoli, come attesta l’abbondantissima produzione di scritti esegetici in merito[1].

Un passo del dialogo al quale il giudizio concorde di lettori antichi e moderni ha attribuito in modo particolare la caratteristica dell’oscurità è certo quello relativo alla cosiddetta divisio animae. Alle righe 35 b 4 – 36 b 6, Timeo, il presunto pitagorico di Locri al quale è messo in bocca l’exposé cosmologico che costituisce la magna pars dell’opera, descrive come il demiurgo, dopo aver costituito attraverso un procedimento di mescolanze successive l’anima del mondo, si appresti a dividerla secondo precisi rapporti numerici. L’esatto significato di queste operazioni di divisione è stato, come detto, materia di dibattito serrato fin dall’antichità. Per un lettore moderno la corretta comprensione del passo è anche più difficile, dal momento che essa presuppone la conoscenza di nozioni di aritmetica e di musica antiche.

Qui vorrei cercare di sciogliere, per quanto possibile, il nodo davvero aggrovigliato che queste righe rappresentano, tenendo sì davanti agli occhi, com’è naturale, i tentativi già fatti in questo senso, ma provando anche a battere fino in fondo una via d’interpretazione che non mi sembra sia stata messa finora sufficientemente a frutto.

Il metodo più conveniente, chiaro ed economico per venire a capo del problema è, credo, di seguire il discorso platonico passo passo. Riporto pertanto le righe di greco, dandone subito sotto una traduzione; approfondisco poi le questioni che di volta in volta sorgono e ne propongo una soluzione; rinvio invece alle note l’esame della letteratura critica, che, condotto direttamente nel testo, potrebbe turbare la linearità (e dunque la chiarezza) dell’esposizione. Scandisco l’analisi in tre fasi, (a), (b) e (c), com’è suggerito peraltro dalla struttura non solo logica, ma anche grammaticale del passo.

 

(a) 35 b 4 – c 2

Il demiurgo incominciò l’opera di divisione così. Tolse dall’intero, all’inizio, una parte, uguale a uno; poi ne tolse una seconda, doppia della prima; ne tolse poi ancora una terza, uguale a una volta e mezzo la seconda e a tre volte la prima; una quarta, doppia della seconda; una quinta, tripla della terza; una sesta, uguale a otto volte la prima; infine una settima, uguale a ventisette volte la prima.

Nelle righe immediatamente precedenti a quelle citate, Timeo ha descritto la costituzione dell’anima del mondo da parte del demiurgo. Poiché tale costituzione avviene secondo mescolanze successive, si può pensare che il demiurgo trovi davanti a sé un impasto informe derivato dal mélange dei diversi ingredienti[2]. Egli si appresta ora a dividere l’impasto «in tante parti quante era conveniente», provvedendo così all’anima quella struttura ordinata di cui essa era ancora priva – e precisamente una struttura numerica, che trova la sua suprema manifestazione sensibile nella regolarità dei movimenti astrali dall’anima governati (χορεῖαι li chiamavano i greci, cioè “danze” celesti).

Dalla prima divisione derivano alcune porzioni di anima – o anche, proseguendo l’immagine – alcune porzioni di “impasto d’anima”, le quali sono legate tra loro da precisi rapporti di proporzione[3]. La prima parte tolta all’intero è posta come uguale a uno[4] e rappresenta perciò l’unità di misura rispetto alle altre[5]. Della seconda si dice che è doppia rispetto alla prima: l’indicazione ha dunque un valore solo relativo; uguagliata la prima a uno, la seconda corrisponde a due. La terza parte corrisponde, secondo le indicazioni, a tre (tripla della prima e una volta e mezza la seconda); la quarta vale quattro (è doppia della seconda, che corrisponde a due); la quinta a è uguale a nove (è cioè tripla della terza, che vale tre); la sesta corrisponde a otto (cioè è otto volte la prima, che vale uno); la settima infine è uguale a ventisette (è infatti ventisette volte la prima).

Alla fine della prima operazione il demiurgo ha ottenuto perciò sette porzioni d’anima, sottraendole ad una ad una dall’impasto iniziale[6]. Occorre non dimenticare mai che quando d’ora in avanti si parlerà di numeri dell’anima, ci si riferirà sempre a delle porzioni (μόρια) di anima, a parti di quell’impasto psichico da cui l’operazione divisoria ha preso le mosse[7].


[1] «Kein Werk Platons, ja, keine andere Prosa-Schrift überhaupt, hat in der Antike größere Bedeutung gehabt als der Timaios – und das, obschon dieser Dialog als ‘dunkel’ galt», scrive M. Baltes in H. Dörrie – M. Baltes, Der Platonismus in der Antike, Bd. 3: Der Platonismus im 2. und 3. Jahrhundert nach Christus, Stuttgart-Bad Cannstatt 1993, p. 209. Baltes, ibid., nota 2, elenca ben ventiquattro personalità, tra filosofi, medici e scienziati, che a diverso titolo si occuparono del Timeo nella sola età ellenistica.

Su tutto ciò le principali fonti antiche sono il De animae procreatione in Timaeo di Plutarco (edito di recente in italiano: Plutarco, La generazione dell’anima nel Timeo, a cura di F. Ferrari e L. Baldi, Napoli 2002) e, naturalmente, l’amplissimo commento al Timeo di Proclo (del quale esiste una traduzione francese: Proclus, Commentaire sur le Timée de Platon, traduction et notes par A. J. Festugière, Paris 1966-1968; per il greco bisogna ricorrere invece a Proclus Diadochus, In Platonis Timaeum Commentaria, edidit E. Diehl, Lipsiae mcmiv). Quanto alla letteratura critica, il rinvio d’obbligo è ai due volumi di M. Baltes, Die Weltentstehung des platonischen Timaios nach den antiken Interpreten, Leiden 1976-1978, che, secondo il titolo, sono dedicati alle interpretazioni antiche dello specifico problema della cosmogonia nel Timeo, ma che contengono moltissimo e interessantissimo materiale sulla Wirkungsgeschichte del dialogo. Le critiche di Aristotele al Timeo sono esposte ed esaminate da G. Claghorn, Aristotle’s Criticism of Plato’s Timaeus, The Hague 1954. Dell’esegesi antica, e in particolare medioplatonica, del Timeo si occupa da anni Franco Ferrari: di lui si vedano soprattutto il contributo I commentari specialistici alle sezioni matematiche del Timeo, in La Filosofia in età imperiale. Le scuole e le tradizioni filosofiche, Atti del Colloquio tenutosi a Roma, 17-19 giugno 1999, a cura di A. Brancacci, Napoli 2000, pp. 171-224; l’articolo Struttura e funzione dell’esegesi testuale nel medioplatonismo: il caso del Timeo, «Athenaeum», lxxxix (2001) pp. 525-570, nonché l’introduzione e le note alla citata edizione del De animae procreatione in Timaeo di Plutarco.

Circa l’oscurità del dialogo e le difficoltà di comprensione dei lettori antichi, oltre alle parole di Cicerone riportate in esergo – sulle quali si può vedere F. Brignoli, L’oscurità del Timeo platonico secondo Cicerone e Gerolamo, «Giornale italiano di filologia», xii (1959) pp. 56-63 -, mette conto citare l’esordio del commento al Timeo di Calcidio: «Timaeus Platonis et a veteribus difficilis habitus atque existimatus est ad intellegendum». A questo proposito cfr. ancora Ferrari, Struttura e funzione cit., pp. 530-533, e Id., Galeno interprete del Timeo, «Museum Helveticum», lv (1998) pp. 14-34, in part. pp. 16-20.

[2] Come è noto e come ha documentato in modo esauriente L. Brisson, Le même et l’autre dans la structure ontologique du Timée de Platon. Un commentaire systématique du Timée de Platon, Paris 1974, pp. 35-55, il demiurgo costituisce il mondo compiendo operazioni artigianali di vario tipo. Nel caso dell’anima del mondo, egli fonde assieme tre ingredienti – essere, identico, diverso – ottenendo una miscela. Nel prosieguo del dialogo, a 41 d 4, apprendiamo che, da competente artigiano qual è, il demiurgo si è servito a questo scopo di un cratere, cioè di una coppa destinata, nell’uso comune presso i greci, appunto a compiere mescolanze (nello specifico, di acqua e vino durante i banchetti; qui si può pensare a un’operazione di metallurgia compiuta in un crogiolo, se è vero che la composizione dell’anima del mondo è assimilabile alla produzione di una sfera armillare da parte di un fabbro).

[3] La produzione di porzioni di anima – o di materiale psichico – riguarda tutte e tre le fasi dell’operazione demiurgica. E’ importante sottolineare che le prime sette porzioni ottenute non esauriscono affatto il composto: è dall’avanzo di questa prima divisione che in un secondo e in un terzo momento verranno tratte nuove parti d’anima, usate dal demiurgo per scopi ben precisi. Errata è pertanto l’affermazione fatta da A. Rivaud nella Notice a Platon, Timée-Critias, texte établi et traduit par A. Rivaud, Paris 1963, p. 43, secondo il quale «le mélange achevé, le Démiurge a divisé la composition en sept parties». Ad essere divisa in sette è solo una porzione del mélange, tant’è vero che Platone, evidentemente riferendosi a questa prima operazione, dice che il demiurgo iniziò a dividere così.

[4] Il greco ha l’aggettivo numerale cardinale μία all’inizio della frase, in posizione enfatica: per questo mi è parso di doverlo rendere in italiano.

[5] Così anche E. A. Moutsopoulos, La musica nell’opera di Platone, Milano 2001, p. 376.

[6] I due verbi che indicano quest’azione sono διαρεῖν e ἀφαρεῖν, che possiedono ambedue uno specifico significato in geometria: secondo le definizioni di Charles Mugler, il primo vale «partager une figure géométrique à une deux ou trois dimensions en deux ou plusieurs parties suivant certaines proportions»; il secondo «retrancher d’une grandeur géométrique une grandeur du même ordre». Cfr. C. Mugler, Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des Grecs, Paris 1958, s.v. Sinonimi di questi due verbi sono rispettivamente διανέμω (usato a 35 b 2) e ἀποτέμνω (che si trova a 36 a 2).

[7] F. M. Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, p. 66, scrive che l’anima su cui il demiurgo opera è come un «piece of malleable stuff, […] forming a long strip, which will presently be slit along its whole length […]. But first the strip is marked off into divisions, corresponding to the intervals of a musical scale». Questa descrizione non si accorda con il testo in esame, dove non si dice affatto che l’anima forma una ‘lunga striscia’, né, tanto meno, che gli intervalli sono ‘segnati’ su questa fantomatica striscia. Come detto, il demiurgo si trova davanti un ‘intero’ dal quale sottrae, spicca, toglie, taglia via (v. nota precedente) delle parti. Lo stesso Cornford, ibid., attribuisce a questa sezione del suo commento il titolo «Division of the World-Soul into harmonic intervals»: ripeto che, a mio avviso, qui non si ha a che fare con una divisione in intervalli armonici, ma con una divisione in porzioni, compiuta secondo intervalli armonici. Sottolinea questo punto importante, unico tra i commentatori, E. A. Moutsopoulos, op. cit., p. 377. Lo studioso tuttavia sembra identificare queste «masse ancora amorfe» con le masse dei pianeti (se capisco bene il testo: la formulazione non mi riesce del tutto chiara). Ora, che le masse di cui qui si parla non abbiano proprio nulla a che vedere con le masse dei pianeti mi pare fuor di dubbio. Le porzioni, come ho già detto, sono evidentemente staccate dall’impasto psichico (che è mescolanza di essere, identico e diverso, laddove i pianeti sono sì masse, derivanti però dalla mescolanza di aria, acqua, terra e fuoco). Le operazioni del demiurgo descritte in queste righe riguardano solo ed esclusivamente l’anima: chiamare in causa la questione delle distanze tra i corpi celesti e delle loro grandezze è fuorviante ed errato. Uno dei punti che vorrei qui dimostrare, tra l’altro, è appunto che partizione dell’impasto psichico e divisione dell’anima in strisce o stringhe (descritta più avanti, a 36 b 7 segg.) sono azioni completamente diverse, compiute dal demiurgo per fini completamente diversi. Credo che Platone si sia qui fatto guidare da considerazioni non astronomiche, bensì matematiche (o meglio, aritmetiche) e musicali.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 5-9