L’evoluzione del metodo nella matematica greca (1)

Sulla matematica greca, nell’arco temporale che va dal sesto alla fine del quarto secolo a.C., la ricerca storica ci presenta una vasta produzione di risultati che individuano una radicale diversità tra il metodo della matematica più antica, in particolare quello della scuola pitagorica e il metodo deduttivo della matematica razionale. Gli antichi pitagorici hanno costruito la loro conoscenza matematica sulla percezione e sull’induzione, come appare dalle testimonianze sia pur tarde ma autorevoli sulla loro produzione aritmetica e come lasciano intendere le ricostruzioni molto convincenti sullo sviluppo della teoria musicale, che sembra essere il paradigma metodologico di tutta la loro produzione. Il mutamento tra l’orientamento pitagorico e quello razionale si manifesta già a partire dalla seconda metà del quinto secolo a.C., a cominciare da Ippocrate di Chio di cui conosciamo attraverso Simplicio le famose quadrature delle lunule del cerchio da lui studiate con l’uso preminente di metodi fondati sulla dimostrazione razionale. Un altro significativo esempio è quello di Eudosso di Cnido che nella prima metà del quarto secolo a.C. ha generalizzato a grandezze qualsiasi la teoria dei rapporti e delle proporzioni, che i pitagorici limitavano al caso dei numeri naturali, teoria che doveva rendere possibile la trattazione della similitudine tra figure nella geometria razionale. L’orientamento razionale che si andava consolidando si afferma poi definitivamente nella trattazione sistematica della geometria e dell’aritmetica che si presenta alla fine del quarto secolo con gli Elementi di Euclide.

Di fronte ad una trasformazione così radicale dell’orientamento metodologico nella matematica greca che ha portato ad uno spostamento definitivo dell’autorità dai sensi alla ragione, il problema che si pone è di cercare di spiegarne l’origine. La tradizione antica racconta della scoperta dell’incommensurabilità e della conseguente crisi in seno alla scuola pitagorica; nondimeno anche se, come tutto lascia intendere, questa è stata la causa di quel profondo mutamento di orientamento rimane da spiegare come, a partire da questa scoperta, siano giunte in seno al pitagorismo quelle componenti di pensiero capaci di rifondare l’intero assetto della matematica. Su questo interrogativo non viene in aiuto alcuna tradizione, ma un esame storico approfondito può aiutarci a prospettare delle risposte ragionevoli.

La scuola pitagorica antica ha impiegato in matematica e in modo particolare in aritmetica, un metodo che ricalca quello che ha maturato in altri campi e soprattutto nello studio delle armonie musicali. La tradizione antica e la successiva elaborazione della dottrina (come quella neopitagorica), testimoniano del fatto che la spinta originaria essa l’abbia ricevuta dalla musica. Una vasta ricostruzione dell’antica teoria musicale pitagorica è stata elaborata da Arpád Szabó sulla base di una analisi filologica del lessico musicale, che ha permesso di risalire ai concetti attraverso il recupero dei significati originari di numerosi termini fondamentali, che scuole posteriori, in particolare quella di Aristosseno, avevano alterato. Lo scopo di questa ricostruzione è manifestamente storico, ma anche teoretico: la teoria musicale in tal modo ricostruita, è in grado di spiegare la nascita di importanti idee matematiche dei pitagorici, come la teoria pre-eudossiana dei rapporti e delle proporzioni che viene interpretata come un naturale correlato della musica, mentre si rende possibile la decifrazione dei concetti di rapporto composto, rapporto doppio, di differenza e di ordinamento di rapporti che prescindendo da quella ricostruzione sarebbero degli enigmi concettuali e linguistici. Di questa vasta teoria considereremo alcuni concetti fondamentali che hanno attinenza con quell’unità metodologica che cerchiamo di delineare.

L’origine della teoria risiede negli esperimenti acustici con i quali Pitagora avrebbe scoperto le consonanze principali, esperimenti che, come racconta Gaudentius, impiegavano il canone o monocordo, uno strumento costituito da un regolo la cui lunghezza veniva suddivisa in dodici parti uguali e lungo il quale veniva tesa una corda che era destinata a vibrare. Porfirio, come rileva A. Szabó, ci racconta che tra la corda e il regolo era inserito un ponticello (hypagogheus) che, opportunamente posizionato, separava l’intera corda in due parti consentendo di far vibrare una sola parte della corda e di lasciar ferma l’altra. Pitagora avrebbe trovato su questo strumento le tre più importanti consonanze note ai greci, le cosiddette consonanze o accordi di quarta, quinta e ottava, che sono ciascuna una coppia di suoni particolarmente graditi all’orecchio, che si ottengono facendo vibrare in un primo momento l’intero monocordo e in un secondo momento una parte di questo corrispondente a lunghezze in certo rapporto numerico con la lunghezza dell’intera corda: tre parti dell’intero per ottenere la consonanza di quarta, due parti per la quinta e la metà per l’ottava.

Si riconoscevano in tal modo tre rapporti numerici, rispettivamente 4 : 3 = 12 : 9 per la quarta, 3 : 2 = 12 : 8 per la quinta e 2 : 1 = 12 : 6 per l’ottava. Si vede allora che la suddivisione del canone in dodicesimi, di cui parla Gaudentius, è la più comoda corrispondendo al minimo multiplo comune delle misure 2, 3, 4.

Le lunghezze delle corde di una certa consonanza determinavano sul canone un ben preciso intervallo, costituito dalla parte del monocordo che nel secondo momento dell’esperimento rimaneva ferma; questo intervallo, che si chiamava diastema, era individuato dai suoi estremi o termini che si chiamavano horoi rappresentati da due numeri naturali che si potevano leggere sul canone. Così nel caso di una consonanza di quarta, quando veniva fatta vibrare l’intera corda, il ponticello sul canone era posizionato alla sua estremità (cioè sul numero 12) e si trovava sul numero 9 quando la corda vibrava una seconda volta. Le due posizioni del ponticello individuavano i termini, gli horoi 9 e 12 del diastema corrispondente, ma al tempo stesso individuavano anche le lunghezze delle corde della consonanza, e perciò anche i termini del loro rapporto cioè del corrispondente logos 12 : 9.

Questa corrispondenza tra diastema e logos suggerita dalla sperimentazione sul Canone, ha generato l’equivalenza tra i due vocaboli, che sono divenuti sinonimi, finendo per indicare concetti equivalenti nella terminologia dell’armonia pitagorica. Questo trova conferma nella testimonianza di Porfirio, che nel suo Commento alla teoria dell’armonia di Tolomeo scrive: “Molti kanonikoi e Pitagorici dicono intervalli (diastemata) invece di rapporti numerici (logoi)”. Un’altra conferma viene anche dalla Sectio canonis, opera di armonia di autore sconosciuto e fonte tra le più autorevoli della teoria musicale pitagorica, dove il vocabolo diastema è usato coerentemente per significare logos.

Ma il fatto che un vocabolo che significava ordinariamente “distanza” o “intervallo” sia divenuto sinonimo di “rapporto numerico” è un fenomeno che deve aver richiesto un lungo tempo per attuarsi, come si può ragionevolmente supporre.

Autore: Giacomo Michelacci
Periodico: Esercizi Filosofici
Anno: 2002
Numero: 6
Pagine: 180-182

La metafora nel linguaggio magico rinascimentale (2)

Il primo tema che incontriamo nel De vita ficiniano è l’affermazione pregiudiziale di un nesso analogico che lega tra loro tutte le realtà esistenti, dal principio divino in cui esse sono presenti come idee, all’ « anima mundi » che tali idee trasforma nelle « rationes seminales », alle entità individue che recano in se stesse il « sigillo » della propria « species » e della sua « ratio ». Ma la conseguenza per noi più interessante dal punto di vista linguistico è il fatto che l’elemento comune dell’unità del cosmo è costituito dall’« anima », parola la cui funzione metaforica è subito evidente, in quanto postula l’immediata corrispondenza tra l’esperienza « profonda » dell’uomo e la vita del cosmo, trasferendo alla natura il carattere della vitalità e dell’« animazione »: «Neque in mundo vivente toto quicquam reperitur tam deforme cui non adsit anima, cui non insit et animae munus, congruitates igitur eiusmodi formarum ad rationes animae mundi ». Ecco perché nel mondo celeste, si tratti delle stelle, dei pianeti o dei demoni astrali, è sempre possibile individuare un elemento di carattere umano, la « ratio », la cui universale presenza assicura che il discorso dell’uomo possa essere inteso anche dalle potenze cosmiche e che la sua virtù « persuasiva » possa avere un risultato efficace. Il mondo è, infatti – il Ficino lo dichiara nel modo più esplicito – un animale, in fondo, non diverso dall’uomo, anzi una realtà di tipo umano, moltiplicata infinitamente nei suoi poteri, capacità e caratteri. Né meraviglia che, con un’altra espressione di carattere metaforico, possa parlare non solo di « anima », bensì anche di « membra » del mondo, tra loro perfettamente corrispondenti, così come nella struttura organica dell’animale e dell’uomo ogni parte svolge la propria funzione precipua in perfetto accordo con tutte le altre parti o funzioni. Se il mondo è descritto come una sorta di universale metafora dell’organismo umano, è però anche naturale che tutte le sue membra si accordino e si corrispondano, che i moti celesti si connettano con i fenomeni naturali e gli eventi umani e che, anzi, esista un legame diretto tra i cieli e gli elementi, tra gli astri e il carattere degli uomini, tra le piante, gli animali, i simboli e le immagini che li rappresentano.

In questo modo, lo sfondo magico-astrologico delle dottrine ficiniane assume un rilievo linguistico decisivo, nel giuoco delle metafore e delle analogie di cui è intessuto, sino a trasformare l’intero universo in un immenso « atlante » di segni, figure e parole immediatamente corrispondenti. Una rete di « simpatie » e « antipatie », di « affinità » e di « conflitti », di « amicizie » ed « avversioni » racchiude l’intero cosmo, ne assicura, insieme, l’omogeneità e la comprensione nei termini del comune linguaggio umano. E, infatti, ad ogni pianeta come ad ogni segno zodiacale corrisponde, quale equivalente, al tempo stesso, reale e simbolico, un gruppo di metalli, diverse pietre e piante, animali, caratteri e comportamenti dell’uomo che possono essere assunti, a loro volta, come « segni » di un comune discorso cosmico. « Mercurialia – legge uno dei testi più tipici – sunt tamen eiusmodi: stanium, argentum praesertim vivum, marcassita argentea, lapis achates, vitrum Porphyriticum, et quae croceum cum viridi misceant, smaragdum ac lacca. Animalia sagacia et ingeniosa simul et strenua, simiae, canes. Homines eloquentes, acuti, versatiles, oblunga facie, manibusque non pingues ». Si tratta, insomma, di un modo per raccogliere e coordinare, entro un sistema di metafore ed analogie simboliche, un insieme di modi ed aspetti della realtà ai quali la struttura del linguaggio magico assicura una unità organica, entro il quadro fornito dalla corrispondenza tra « anima » e « mondo », « uomo » e « cielo ». Sicché, con lo stesso procedimento, sarà anche possibile assicurare a questa immagine del mondo un centro simbolico unico, individuato nel Sole e nell’oro, immagine terrena del Sole, presente in tutti i metalli « sicut Sol in planetis omnibus atque stellis ». Proprio il Sole offre, anzi, al Ficino un’altra immagine di carattere metaforico per indicare il « veicolo » dello spirito universale, della comune forza vitale; ed ai raggi del Sole e di Giove è attribuita non solo la virtù di render gli uomini più perfetti, nella natura « solare » e « gioviale », ma quella di restituire al « microcosmo » il suo potere vitale, al centro dell’universo « animato ». Ma non sono soltanto queste le metafore costanti di cui Marsilio si serve: perché ogni pianeta è posto in relazione analogica con funzioni fisiologiche, caratteri e poteri umani, si tratti della Luna o di Venere che accrescono lo spirito generativo, di Giove che « favorisce » il fegato e lo stomaco ed influisce « non mediocremente sul cuore », e dell’infausto Saturno che significa sterilità, debolezza e impotenza e che condanna i nati sotto il suo segno ad una strenua lotta per « sublimare » i suoi influssi nefasti nella vittoriosa esperienza della vita meditativa e dell’arte.

Che, poi, in questo tessuto di metafore e di analogie simboliche (perché di metafore appunto si tratta, dedotte in gran parte da supposte affinità che hanno un carattere essenzialmente linguistico) si inserisca la reversione dell’influenza e dei poteri umani sull’ordine cosmico e, soprattutto, sui caratteri e gli influssi celesti, è cosa perfettamente comprensibile. Ed è altrettanto sintomatico che, secondo un’antica tradizione magica, tale influenza sia affidata ad immagini e raffigurazioni simboliche, a « segni » capaci di assicurare il passaggio dal mondo umano a quello celeste e di costituire il tramite privilegiato dell’operazione astrologica: « Ptolomaeus ait in Centiloquio, rerum inferiorum effigies vultibus coelestibus esse subiectas, antiquosque sapientes solitos certas tunc imagines fabricare quando Planetae similes in cielo facies, quasi exemplaria inferiorum ingrediebantur. Quod quidem Haly comprobat ibi dicens utilem serpentis immaginem effici posse, quando Luna coelestem serpentem subit, aut feliciter aspicit. Similiter Scorpionis effigiem efficacem, quando Scorpij signum Luna ingreditur ac signum hoc tenet angulum ex quatuor unum ». La costruzione dell’immagine e, insieme con essa, anche la pronunzia dell’invocazione o dello scongiuro hanno un’efficacia direttamente commisurata alla corrispondenza di situazioni astrali il cui carattere analogico è indiscutibile. Ma se l’immagine rappresenta, nella realtà terrena ed umana, il corrispettivo simbolico delle figure eterne fissate nei cieli, dei « segni » immortali che popolano l’universo, anche le parole opportunamente disposte, ritmate e pronunziate possono inserirsi nei processi cosmici, diventare elementi e strumenti efficaci della persuasione umana che vuole piegare anche l’immutabile potere delle stelle. Immagini, « carmina », ritmi, musica, espressione del sostrato più profondo dell’immaginazione umana hanno infatti una natura « corrispondente », ai ritmi, alla musica, al segreto linguaggio da cui è costituita l’universale armonia del mondo. Né v’è dubbio che, per il Ficino, il linguaggio umano, nelle sue forme più fascinatorie, sia anch’esso una forma del linguaggio cosmico, anzi, l’espressione finalmente rivelata di una « cifra » divina, sempre celata nel segreto della struttura dell’universo. Il filosofo platonico che, sulla sua lira di argento, tenta di suonare nuovamente i canti orfici e recuperarne la misteriosa potenza teurgica è, insomma, convinto che all’immagine di un universo costruito sulla misura della metafora umana corrisponda, con inevitabile necessità, la forza magica della parola che scioglie i « vincula mundi » e li ricompone secondo la volontà di chi la pronunzia. Se l’« anima » può parlare ad un’altra « anima » e se il discorso può sempre persuadere e dominare odi, passioni, amicizie ed amori, anche la frase del mago potrà diventare la forza suscitatrice di diverse corrispondenze e di altre armonie cosmiche.

Autore: Cesare Vasoli
Pubblicazione: Simbolo, metafora, allegoria. Atti del IV convegno italo-tedesco, Bressanone 1976 (Quaderni del circolo filologico linguistico padovano, 11)
Editore:
Liviana
Luogo: Padova
Anno: 1980
Pagine: 147-150
Vedi anche:

L’Introductio arithmeticae di Nicomaco di Gerasa: un’opera teoretica tra matematica e filosofia (1)

Non molto si sa di Nicomaco a partire dal periodo in cui visse, che si può inferire solo da alcune circostanze, vale a dire da alcuni dati a cui fa riferimento nelle sue opere, oppure da eventi che non sono in esse menzionati, cosicché si ritiene che egli non li conoscesse e, pertanto fosse a questi precedente. Nicomaco fiorì intorno al I secolo d. C. circa. Nel suo Harmonicum Enchiridium, infatti, menziona Trasillo
che visse durante il regno di Tiberio; Nicomaco, inoltre, non fa riferimento né a Teone di Smirne, autore anch’egli di un trattato aritmologico, né a Tolomeo, che si occupò tra le altre cose di musica, per cui si può supporre che il geraseno sia ad essi anteriore. Poiché Teone e Tolomeo furono attivi intorno alla metà del II secolo, si può collocare Nicomaco nel periodo immediatamente precedente. L’Introductio arithmeticae,
poi, sarebbe stata tradotta in latino da Apuleio, il quale nacque intorno al 125 d. C.. Nel Philopatris (12,11) dello pseudo-Luciano un personaggio ad un certo punto dice «tu calcoli come Nicomaco»; l’affermazione ci mostra un Nicomaco già noto per i suoi scritti intorno alla metà del II secolo d. C. Infine Porfirio lo menziona insieme a Moderato di Gades e altri come un membro promettente della scuola pitagorica. Egli si colloca, dunque, nel periodo della rinascita del pitagorismo che caratterizzò i primi secoli dell’impero ed è considerato un filosofo neopitagorico, benché i suoi scritti rivelino anche una forte influenza della filosofia platonica.

Di Nicomaco ci sono pervenute l’Introductio arithmeticae e il trattato di musica. Egli compose inoltre un’altra opera aritmologica intitolata Theologoumena arithmeticae, che conosciamo attraverso un riassunto del patriarca bizantino Fozio e attraverso gli estratti contenuti in un’anonima compilazione, che porta lo stesso titolo ed è stata attribuita a Giamblico.

Fozio ci informa che l’Introductio arithmeticae fu composta prima dei Theologoumena e che è dedicata all’analisi delle proprietà naturali dei numeri che richiedono un esame serio. L’opera che accoglie l’aritmetica di tradizione pitagorica, si presenta simultaneamente come trattato scientifico e come trattato aritmologico. Discorso matematico e discorso speculativo si sovrappongono l’uno con l’altro, si intrecciano in una sintesi in cui è difficile dipanare i fili dei due piani scientifico e filosofico. L’opera non può, infatti, essere valutata come un trattato tecnico di aritmetica né come uno scritto di aritmologia esclusivamente. L’Introductio così come l’Expositio rerum mathematicamm ad legendum Platonem utilium di Teone di Smirne, di poco più giovane di Nicomaco, furono composte con lo scopo di fornire gli strumenti e le cognizioni necessarie per la comprensione dei dialoghi di Platone, soprattutto di quelli che presentavano maggiori difficoltà interpretative come il Timeo. Con tali opere ci si avvia ormai verso il commento e l’esegesi che si rendevano necessari in particolare per quegli scritti o per quelle sezioni di scritti più complesse, prime tra tutte quelle di carattere matematico, o comunque, più in generale, di argomento scientifico, operazione che avvicina lo studio della matematica alla filosofia, in quanto esso diviene fase preparatoria e propedeutica nei confronti delle verità filosofiche e della comprensione del testo di Platone. Già il fatto che il nostro trattato si apra con una definizione del termine filosofia, inserita in un lungo proemio incentrato sul valore e sull’importanza dell’aritmetica, ci rivela che l’Introductio è più un’opera per filosofi che per veri e propri matematici.

Gli antichi che per primi hanno sistematizzato la scienza a partire da Pitagora, definirono la filosofia amore della sapienza, come mostra il nome stesso, mentre prima di Pitagora tutti venivano denominati indistintamente sapienti, il carpentiere, il calzolaio, il pilota, chi fosse esperto di un’arte o di un mestiere. Ma Pitagora limitò il nome di sapienza a conoscenza dell’essere e chiamò sapienza in senso proprio soltanto la conoscenza della verità che è nell’essere. Definì filosofia il desiderio e ricerca di questa, vale a dire il desiderio di sapienza […] Definì questa sapienza conoscenza della verità che è negli esseri.

Secondo Nicomaco, dunque, prima di Pitagora chiunque fosse esperto in un’arte o in un mestiere era definito σοφός, anche un falegname o un calzolaio. Fu Pitagora che restrinse il concetto di σοφία a scienza e apprensione dell’essere e a conoscenza della verità che è negli esseri (ἐπιστήμε τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας) e che quindi definì filosofia il desiderio di sapienza (σοφίας ὄρεξις). La definizione della filosofia attribuita a Pitagora si rivela altamente speculativa, svincolata com’è dal sapere pratico e tutta tesa allo studio dell’essere, o meglio della verità che è negli esseri. Questa caratteristica allontana anche il sapere scientifico dai suoi aspetti più concreti. Se filosofia e aritmetica sono poste in relazione e, in particolare, la filosofia così definita, anche l’aritmetica ad essa connessa, sembra promettere contenuti poco legati a circostanze pratiche, ma piuttosto alla riflessione astratta in perfetta sintonia con la φιλία σοφίας. La relazione tra filosofia e aritmetica, subito instaurata all’inizio del trattato, lascia già intravedere l’immagine di una disciplina rivestita di un alto valore che non si esprime nel semplice contare o calcolare. La posizione incipitaria della definizione di filosofia mette in mano al lettore la chiave per interpretare il testo, gli suggerisce ciò che deve costantemente tenere presente, quando intraprende lo studio dell’aritmetica e progressivamente vi si addentra, gli indica la via da seguire per cogliere il vero significato e l’alto valore di questa disciplina: è la soluzione dell’enigma, per così dire, di un testo che non è puramente scientifico né puramente aritmologico, che corre sul filo dell’interazione, dell’intreccio, guidato tuttavia dalla φιλία σοφίας, che, come un sigillo, dà l’impronta allo studio dei numeri. Si pone, tuttavia, il problema di quale rapporto intercorra tra filosofia e aritmetica. Nicomaco non lo delinea con chiarezza e si potrà notare che il proemio dell’Introductio contiene non poche ambiguità ed incoerenze: da un lato, infatti, sembra che le discipline matematiche costituiscano una fase preliminare, preparatoria allo studio della filosofia, per cui resterebbero platonicamente da quest’ultima ben distinte; dall’altro, le scienze matematiche, e l’aritmetica in particolare, che è ad esse sovraordinata, sembrano identificarsi con le più alte verità filosofiche, con i vertici della conoscenza, per cui non sembra più esserci posto per una scienza oltre di esse, che verrebbero a coincidere con le più alte mete raggiungibili.

Autore: Silvia Pieri
Pubblicazione: Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore
: Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo: Firenze
Anno: 2005
Pagine: 29-32

Lessico iconografico-simbolico – Arti liberali

Arti liberali (DI)

Il sapere e il sistema (1)

La costruzione è un’attività in particolar modo cosciente. È innanzitutto l’organizzazione di un certo numero di atti in successione temporale. Quando si costruisce, alcune operazioni inevitabilmente ne precedono altre, alcune precedono ed altre seguono, alcune sono cause che preparano azioni conseguenti. L’attività edilizia e la creazione di un’abitazione suppongono una coscienza molto chiara del tempo.
Ma il lavoro umano in un tempo organizzato non può esistere senza l’abitudine, i sentimenti ed i ragionamenti; non esiste senza la coscienza e la ragione, senza i numeri e le misure. La misura trasforma il tempo nello spazio, traducendo il flusso nella linea, la velocità nei nodi o un giorno di aratura in misura territoriale. La costruzione suppone il numero e la numerazione, le parti e l’unità, il progetto e l’esecuzione. Ma il progetto non si può realizzare senza la planimetria, questa prima parte della geometria. L’opera della costruzione raccoglie tutto il sapere del mondo visibile ed invisibile. Il mestiere riconosce la costituzione del suolo, le caratteristiche dell’acqua, la resistenza o la fragilità della materia, l’umore dei venti, le direzioni geografiche secondo il cielo diurno e notturno, le forze interne ed esterne che si manifestano nei contatti e nella mole del materiale. Il mestiere riordina con i numeri e con le figure, con il conto e con il disegno tutta questa moltitudine e diversità di usanze e di informazioni.

Gli storici della matematica affermano che l’alto medioevo è ancora debole nel calcolo. Il tempo dei santi, dei martiri e dei beati, il periodo dei pensatori gloriosi, da Alcuino a Scoto Eriugena fino ad Alberto Magno e Tommaso d’Aquino, nella scienza del numero non ha creato nessun Apollonio, Tolomeo, Papus o Proclo. Deboli sono sia l’aritmetica che la geometria. Quello che si sapeva prima si è dimenticato o perduto al tramonto del mondo antico o nella confusione della migrazione dei popoli. L’intero edificio della scienza antica è in rovina, e dovremo aspettare fino all’inizio del XII secolo per un rinnovo del sapere matematico. Nella fioritura della vita urbana, del mercato e dei vivissimi legami internazionali tra l’Oriente e l’Occidente, appare nel 1202 un mercante pisano, Leonardo detto Fibonacci, con l’opera Liber abaci. L’apparizione di questa opera significa l’inizio di un sapere matematico rinnovato. Questo compendio d’aritmetica è sorto grazie allo studio delle fonti indiane ed arabe, nel periodo del soggiorno di Leonardo in Algeria, Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Nel denso traffico della merce e del denaro, nelle complesse operazioni valutarie e nei rapporti intensi delle città mediterranee o nordeuropee con i paesi dell’Oriente lontano e vicino, il conto e la teoria aritmetica si presentano come una necessità quotidiana.

A dir il vero, la pratica degli abaciti, che calcolano abilmente sull’abaco movendo le palline segnate coi segni numerici, si è diffusa già nei secoli IX e X. Era stata perfezionata da Boezio, diplomatico, filosofo e martire della fede cristiana al tempo di Teodorico. È una figura importantissima per la continuità del sapere matematico tra i secoli antichi ed il medioevo. La sua Institutio arithmetica traduce ed elabora le speculazioni pitagoriche di Nicomaco, del I secolo d.C. L’autorità di Boezio e il contenuto della dottrina dei numeri sono inseriti nell’ambito di «sette arti liberali», che si compongono del Trivium (grammatica, retorica e dialettica) e del Quadrivium (aritmetica, geometria, musica e astronomia). Tramite Boezio la matematica alessandrina entra nelle scuole delle abbazie benedettine ed influisce sulla vita spirituale per oltre un millennio. Riconosciamo le tracce della dottrina del consigliere di Teodorico nelle opere di Alcuino e soprattutto presso il colto abate Gerberto, che nel 999 diventa papa Silvestro II. Anch’egli si è accostato alla matematica grazie a Boezio ma ha poi sviluppato e perfezionato le sue esperienze algebriche al contatto immediato con i matematici arabi in Spagna.

Il ragionamento sul numero, sulla figura e sulla bellezza serviva come base sia per le concezioni estetiche medioevali sia per le prassi artigianali dei diversi maestri.

Dal vescovo Isidoro di Siviglia, che mori nel 636, fino alla morte di san Tommaso d’Aquino nel 1274 un gran numero di scrittori ecclesiastici scrive i trattati sulla bellezza sotto l’influsso del quadrivio. L’aritmologia disputa il rapporto tra «uno» e «molto», tra ordine e moltitudine, tra principio maschile e femminile, tra mondo assoluto e struttura dei numeri eterni. I numeri non sono soltanto segni simbolici ma pure entità della realtà spirituale che governano le sfere macro e microcosmiche.

Le dispute sull’essere della creazione artistica, e cosi anche delle costruzioni, non sono nient’altro che dispute sull’applicazione dei rapporti numerici nella struttura delle figure. Speculazioni matematiche condizionano, in buona parte, anche la grammatica, la retorica e la dialettica.

Autore: Nenad Gattin; Mladen Pejaković
Pubblicazione: Le Pietre e il Sole
Editore: Jaca Book
Luogo: Milano
Anno: 1988
Pagine: 235-237

Preliminari di geografia immaginale (6)

Quali erano, in sostanza, gli elementi chiamati a comporre un’immagine della terra medievale? Essi appartenevano, come si è già avuto modo di accennare, a varie tradizioni: biblica, classica, leggendaria, contemporanea.

Un nuovo sguardo alla mappa di Hereford, stavolta rivolto alle peculiarità geografiche conchiuse dal cerchio oceanico, servirà egregiamente a questo scopo. L’imago mundi riproduce uno schema abbastanza remoto, rapportabile, più che a quello del grande codificatore Tolomeo, ai più antichi modelli di Eratostene ed Anassimandro, che già fornivano una visione circolare delle terre emerse, cinte senza soluzione di sosta dall’oceano, e che vogliono la porzione settentrionale occupata dall’Europa la quale si apre, in pieno centro, nel Mediterraneo, e già sembrano riservare alla Palestina (Gerusalemme) quel ruolo centrale che, ovviamente in base a tutt’altri presupposti, verrà conservato e sublimato dai cartografi medievali. L’Africa (Libia) costeggia a meridione il Mediterraneo per cedere immediatamente spazio alle propaggini occidentali dell’Asia minore (Etiopia), una delle tre Indie medievali, collegata, senza presenza alcuna dell’Oceano Indiano e appena leggermente separata dal resto del continente dal mare arabico, alla restante massa dell’Asia centro-orientale comprendente l’Arabia, la Persia, l’India e, più a nord (il cerchio torna a chiudersi in Europa), la Scizia.

Il modello greco ci sembra inoltre chiaramente ispirato al più antico concetto babilonese, che già presenta il motivo della tripartizione delle terre e ovviamente il nastro periferico dell’oceano.

La cartografia medievale apporta a questo schema lievi ritocchi, dei quali il più importante è senza dubbio la “fusione” della zona afro-asiatica meridionale (quella che, per intenderci, si affaccia sull’Oceano Indiano) in un’unica regione “d’India”, comprendente un'”India Maggiore”, che corrisponde grosso modo all’India odierna; un'”India Minore”, ad est della prima e a sud della grande Cina; Birmania e penisola indocinese; e un'”India Mezzana”, appunto l’Etiopia, come appena accennato.

Ulteriori novità, in base all’ampio discorso tenuto più sopra, sono rappresentate dalla collocazione del Paradiso terrestre esattamente ad est, in prossimità del sorgere del sole, e dalla vasta rete fluviale composta dai quattro fiumi (Tigri, Eufrate, Gyson e Phison) che, secondo la tradizione biblica, scendono dalla montagna dell’Eden.

Questa è l’ossatura, la pagina, che accoglie il messaggio, il Libro. Su di essa, un posto privilegiato spetta alle localizzazioni scritturali e alle tappe della Rivelazione. Si è appena detto del Paradiso terrestre e dei suoi quattro fiumi, ma, ovviamente, le regioni che maggiormente riguardano tali localizzazioni sono quelle ove si svolsero gli eventi biblici: così, se l’isola di Ophir è posta in pieno Oceano Indiano e troviamo in Scizia gli avamposti di Gog e Magog, già in Armenia scopriamo l’Archa Noe che sesesit in montibus Armenie. In Mesopotamia ci attende la Turris Babel ed in Siria un cartiglio che avverte: uxor Loth mutata in petram salis; poco vicino, Sodom c. et Gomor. La Palestina è più propriamente

la terra del messaggio evangelico, mentre nuovamente densa di citazioni bibliche è l’area che descrive l’Egitto, con il locus dicitur Moyse id est aque ortus, l’itinerario filiorum Israel per Mare Rubrum,
gli Orrea Josephi,
coi quali spesso nel Medioevo furono scambiate le piramidi.

Il repertorio leggendario, passando ad un altro livello dello spazio immaginale medievale, è desunto in gran parte dall’epica di Alessandro Magno nei paesi orientali ed in India, giunta al Medioevo grazie alla traduzione dell’Arciprete Leone, e nota a partire dall’XI secolo col nome di Historia de preliis: essa apportava preziose notizie sulla natura, sulla geografia, sulla storia e sui mirabilia di quelle remote e misteriose contrade. Si situa a ridosso del Paradiso terrestre l’Arbor sicca, che svolgerà un ruolo importante nell’immaginario esotico degli Europei, a cominciare da Marco Polo. Nell’India propriamente detta troviamo le Aree Alexandri, gli altari innalzati dal macedone, secondo la leggenda, per stabilire i confini delle sue conquiste, e poco vicino il Regnum Phori, il re indiano che cercò di bloccarne l’avanzata. Molto importante è la citazione Portee Caspie aperiuntur
itinere manufacto longo octo miliariis:
essa allude al mitico “muro” innalzato da Alessandro per bloccare l’accesso in Occidente ai popoli barbari, e destinato a confluire nell’immaginario apocalittico medievale in relazione alle profetizzate invasioni millenaristiche dei popoli demoniaci Gog e Magog.

Anche altre fonti dell’antico repertorio mitico e romanzesco apportano il loro contributo all’imago mundi cristiana: ecco in Colchide il Velus aureum;
ecco Troja civitas bellicosa;
le Insule Hesperidum,
il Laborintus id est domus Dedili,
l’Insula Calipso. Attraverso la mediazione di san Brandano, la mappa di Hereford abbraccia anche la mitologia celtica: Fortunate Insule: sex sunt: insule Sancti Brandani (ma su tutto ciò si veda l’ultimo capitolo).

Di ascendenza classica sono invece la maggior parte delle nozioni a carattere naturalis, etnologico e teratologico, risalenti, attraverso le codificazioni di Isidoro di Siviglia, Rabano Mauro, il Liber monstrorum, Aethicus Ister, direttamente a Pomponio Mela, Marziano Capella, Solino, Plinio. I popoli fantastici (gli «omini da meravigliare» di fra Giovanni da Montecorvino) si situano prevalentemente nell’India remota, aperta, come si sa, fin nell’Etiopia. Fra Cinocefali, Sciapodi, Fanesi, Antropofagi, Blemnii, ecc., trovano posto anche straordinarie nature animali (Sfingi, Manticore, la Fenice, Grifoni, Sirene, Salamandre, Elefanti) e vegetali, quali la Mandragora, erba mirabiliter virtuosa, o le Pipereas silvas.

L’elencazione si estende serrata a coprire l’Europa, dominata dal nome e dall’immagine di Roma, e là dove il vecchio continente, nonché culla di civiltà, prende a stemperarsi nei confini più settentrionali, c’è nuovamente posto per nature inquietanti quali quelle di Cinocefali e Grifoni.

Tutte queste nozioni di stampo scritturale, classico e leggendario si uniscono a localizzazioni molto più empiriche, come strade, importanti città contemporanee, porti, e notizie relative a distanze di viaggio espresse in giornate di cammino o in miglia; molto sentite sono le informazioni relative alle attività economiche, alle risorse minerarie, alle ricchezze naturali delle varie regioni, che spesso, tuttavia, scadono anch’esse nel meraviglioso e nel fantastico, come nei casi delle formiche scavatrici d’oro o dei fiumi che trasportano pietre preziose.

L’imago mundi medievale è dunque una trama di impressioni e segnali diversi, raccolti in un unico universo significante grazie alle ragioni trascendentali che ne costituiscono l’esatta dimensione.

In questo panorama colorato e proteiforme, la natura conosciutissima dell’angolo appena fuori la porta di casa si raffronta e completa con quanto appartiene agli estremi quadranti, e di cui, spesso, si conosce solo il nome. A riassumere tutto questo interviene lo schema, il simbolo della Croce, nettissima nel disegno dei mari, che abbraccia e tripartisce e che quindi, in ulteriore proiezione, può addirittura lasciare il posto all’immagine stessa del Cristo dalle braccia aperte, coesteso alla terra, col viso aureolato a sostituire il sole nascente, quasi a comporre il mondo col suo stesso corpo, portato del resto sin troppo emblematico di cosmogonie più antiche: era questa l’immagine che offriva un’altra celebre mappa medievale, quella di Hebstorf, in Germania.

Autore: Giuseppe Tardiola
Pubblicazione: Atlante fantastico del Medioevo
Editore
: De Rubeis (L’arco Muto, 1)
Luogo: Anzio
Anno: 1990
Pagine: 21-25
Vedi anche:
Preliminari di geografia immaginale (1)

Preliminari di geografia immaginale (2)
Preliminari di geografia immaginale (3)
Preliminari di geografia immaginale (4)
Preliminari di geografia immaginale (5)

La moralitas musicale e i tre tipi di musica mondana, umana e strumentale (1)

Il De institutione musica fu composto da Boezio in età giovanile, attorno al 510, forse a seguito del De institutione arithmetica, ma il testo si interrompe a metà di una frase del capitolo 19 del quinto libro: Boezio stariferendo le idee del primo libro degli Armonici di Tolomeo, ed è verosimile che le parti mancanti siano in realtà disperse. Tolomeo tratta di musica umana e cosmica nel terzo libro del suo trattato, e Boezio ne promette un’indagine che, invece, non ci è giunta. È stato dunque ipotizzato che Tolomeo fosse stata la fonte di Boezio per queste parti perdute, ma anche altre fonti tardoantiche potrebbero essere state nella mente del filosofo romano: il medioplatonismo e il neoplatonismo avevano interpretato in chiave di teoria musicale la struttura armonica del cosmo e della psiche, seguendo la dottrina delineata nel Timeo platonico. Del resto, la vexata quaestio della o delle fonti su cui Boezio “costruì” il suo trattato di musica è ancora in larga parte aperta. Il De institutione musica si apre con un affondo sulla natura della sensazione: le facoltà percettive sono proprie di ogni vivente, e le percezioni in sé sono sempre chiare, anche se non lo è affatto la natura dei sensi. Per Boezio non c’è scienza in senso proprio della mutevolezza del divenire, ma solo di quegli aspetti “essenziali” delle cose che l’intelligenza umana concepisce come se fossero separati dalla materia. Coerentemente con questo assunto, Boezio afferma:

l’osservazione di un oggetto di forma triangolare o quadrata e immediata e intuitiva per tutti, ma capire la natura del quadrato o del triangolo richiede una mente matematica. Questo vale anche per la sensazione uditiva, la cui potenza (vis) è capace di captare così bene i suoni che non solo li giudica e ne conosce le differenze, ma perfino se ne diletta se sono dolci e concordi, e ne soffre se sono disordinati e incoerenti. In conseguenza, essendoci quattro discipline matematiche, le altre investigano la ricerca della verità, ma la musica si congiunge non solo alla speculazione, ma anche alla moralità (moralitati). Nulla è infatti così proprio (proprium) dell’umanità che abbandonarsi a dolci modi (modis) e sentirsi contratti da quelli discordanti e […] naturalmente con un certo impulso (affectu) spontaneo < tutti > sono così trascinati dai modi musicali che non c’è età che non provi diletto di una dolce melodia. (1, 1)

Il presupposto scientifico della musica è fin da subito sottolineato in coerenza con la teorizzazione dei saperi disciplinari, ma Boezio aggiunge qui un elemento nuovo nella sua definizione della disciplina musicale: contrariamente alle altre matematiche, essa prevede anche un legame con una “proprietà” umana che Boezio definisce moralitas. Il proprium è, nella logica aristotelica, uno dei cinque predicabili; cioè è quella caratteristica peculiare che appartiene in modo permanente a tutti gli individui di una stessa specie, e solo a quelli. Una proprietà umana è ad esempio il ridere, che è un’affezione (affectum) tipica e unica di questa specie. Nel De institutione musica Boezio si rifà quindi alla dottrina del proprium come affectio, e infatti tutta la spiegazione che completa il proemio (cap. I) è volta a dimostrare che la moralitas è una proprietà affettiva permanente dell’uomo; e ciò è fatto partendo dal Timeo di Platone e dalla teoria della similitudo. Per Platone, dice Boezio, la musica è in ogni uomo, e il piacere che spontaneamente suscita deriva dal suo ordine intrinseco, che a sua volta riflette nella somiglianza quello dell’anima universale. La similitudo è amica, la dissimilitudo è odiosa e contraria, e da qui derivano per Boezio i cambiamenti dei costumi (mores). «La gente gode nei modi musicali per la loro somiglianza ai propri costumi» (ibid.), quindi la musica è costumata se, come afferma Platone nella Repubblica, è quella di cui gode un popolo costumato. La progressiva esposizione a musiche non confacenti trasforma anche i costumi dello Stato, dunque il senso di moralitas che Boezio intende quale proprietà affettiva dell’uomo è, in sostanza, l’idea platonica di ethos: costume, carattere, inclinazione, e anche consuetudine. Il nesso di questa concezione con la disciplina musicale è così spiegato da Boezio:

E infatti manifesto che non c’è nessun ingresso alle conoscenze disciplinari migliore dell’udito. Poiché dunque per l’udito i ritmi e i modi scendono fino all’animo, non si può dubitare che, conformemente a come sono, influenzino e conformino la mente. (1,1)

Sulla base di un richiamo implicito al trattato Sul senso (I, 4373 a 5-15) di Aristotele, il principio dell’eccellenza dell’udito si fonda sull’idea che esso trasmette conoscenza in quanto è mediatore degli insegnamenti attraverso la parola; ma per Boezio tale ingresso alla conoscenza si accompagna anche al moto di affezione implicato dalla modulazione ritmico-melodica della parola. La conclusione del ragionamento, supportato da molti esempi addotti dalle fonti classiche sul potere della musica, è che «l’essere (status) della nostra anima e del corpo è composto delle stesse proporzioni con le quali sono congiunte le modulazioni armoniche» (1, 1), che è un’idea analoga a quelladei numeri-ritmi agostiniana. Se dunque la musica è così insita nell’animo umano, compito della scienza musicale sarà indagare quelle proprietà immutabili che vi si possono individuare, con una sorta di atto introspettivo. Tali “essenze” sono le proporzioni che formano i canti e che «scendono fino all’animo»:

E così la musica è talmente insita in noi che non ne potremmo essere privi, anche volendolo. Per la qual cosa la forza intellettuale deve essere orientata affinché ciò che è insito in natura anche la scienza possa assumerlo alla comprensione. (1, 1)

Autore: Cecilia Panti Pubblicazione: Filosofia della Musica. Tarda Antichità e Medioevo Editore: Carocci (Studi Superiori, 541) Luogo: Roma Anno: 2008 Pagine: 91-94