Il sapere e il sistema (6)

Con la traslazione della diagonale del quadrato sulla base si ottiene un rettangolo dinamico, entro il quale sono stati costruiti tanti edifici preromanici ed intagliati tanti ornamenti ad intreccio. Conosciamo due tipi di parallelogramma dinamico. Il primo è il rettangolo con i rapporti 1 : √2, il secondo 1 : √3, lo abbiamo conosciuto nell’esagono e nella stella di Salomone. Qui aggiungeremo che esso si costruisce anche in modo che la diagonale del primo parallelogramma serva di base di questo secondo, perché il suo valore è √3. Il quadrato ci permette anche la costruzione di un terzo rettangolo dinamico, che si forma quando la diagonale del doppio quadrato serve come lato. Allora si ottiene un parallelogramma con il rapporto dei lati 1 : √5.

Tre rettangoli dinamici possono essere dedotti dal quadrato. Queste figure si usavano spesso nei procedimenti compositivi del preromanico. L’articolazione grafica e geometrica di qualsiasi di queste figure, con l’aiuto della diagonale, dà le figure minori dentro la figura globale, i cui rapporti fra i lati sono in ugual relazione.
Queste e simili figure, e le lunghezze dei loro lati, danno la possibilità di proporzionare in rapporti armonici tutte le misure di un edificio, con uno stesso principio prescelto. La rete grafica della costruzione ci aiuta nello stesso tempo a trasporre il progetto in un piano di esecuzione tramite i numeri interi o le frazioni razionali. Il già menzionato terzo rettangolo dinamico 1 : √5 è particolarmente importante a causa del legame con il quadrato e la sezione aurea. La sezione aurea, cioè, divide una misura in modo che la parte minore (m minor) si riferisca alla parte maggiore (M maior) così come questa parte maggiore (M maior) si riferisce alla misura intera (Mm maximus). Il disegno mostra come questa divisione opera nel terzo rettangolo dinamico: se proiettiamo le diagonali del mezzo quadrato a destra e a sinistra, dalla sua base otterremo il terzo parallelogramma dinamico, ma anche la divisione della sezione aurea in esso. Con questa costruzione si forma il rettangolo dal formato 1 : Ø, dove Ø = (√5+1)/2 con il valore numerico di 1,618.

La seconda costruzione geometrica della sezione aurea è legata al quadrato doppio, ovvero al mezzo quadrato. La base deve esser traslata sulla diagonale. Il segmento maggiore della diagonale poi si proietta sull’altezza del quadrato doppio e si ottiene il punto che divide questa lunghezza secondo la sezione aurea. Abbiamo così: AB BC = AC : AB.

Il rapporto della sezione aurea si riconosce anche in un’altra figura spesso e volentieri impiegata nel preromanico. È il pentagramma, ovvero la stella a cinque punte. Nella stella a cinque punte la regola della sezione aurea stabilisce il rapporto dell’intersezione sulle punte. Nel disegno si vede che BC : AB = AB : AC. Nel centro della stella a cinque punte si trova un pentagono minore, le cui diagonali tracciano un nuovo, ma minore, pentagramma. Anche i suoi lati rispettano i rapporti della sezione aurea. Nella stella minore di nuovo troviamo un pentagramma minore e una stella più piccola dalle stesse caratteristiche. La grandezza delle superfici e la grandezza dei lati di segmenti si concatenano in una serie continua di misure con rapporti reciproci armonici. Il rapporto della sezione aurea è un numero irrazionale, che in termini aritmetici può esser espresso approssimativamente con la serie di Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Ogni numero seguente si ottiene con la somma dei due precedenti, ma il rapporto tra loro resta fisso, e perciò anche questa proporzione viene chiamata una proporzione stabile.

La stella a cinque punte era nominata pentalfa dai pitagorici, perché è composta dai cinque alfa (A) ed era il segno segreto della loro confraternita. Nel medioevo serviva come formula apotropaica. Particolarmente interessante è il suo significato nelle composizioni dell’ornamento ad intreccio ed il suo rapporto con il motivo base di tale ornamento, cioè con la semplice fascia di nastro infinito, simbolo della Trinità e dei numeri tre e sei. Pentagramma non è soltanto l’ornamento della lapide di pietra, ma un pensiero plastico e simbolico intagliato nella pietra. La forma ed il contenuto, il segno ed il significato sono indissolubili, e così il simbolo di un significato più vasto diventa sintema, vale a dire un rapporto esplicito e insostituibile tra la forma ed il significato.

Pentalfa sul pluteo della vasca battesimale nel battistero del duomo di Spalato, ex tempio del palazzo di Diocleziano

 

Nel quadrato ci sono due tipi di diagonali. Le prime legano gli angoli opposti e nella loro intersezione vi è il centro. Le seconde legano gli angoli opposti dei mezzi quadrati. Alle une diamo il valore √2, alle altre √5. Le une e le altre sono incommensurabili con i lati del quadrato. Intersechiamo adesso le prime e le seconde diagonali: esse, con le loro intersezioni, definiscono quattro punti nel quadrato, attraverso i quali è possibile tracciare le linee parallele ai lati del quadrato. Queste linee dividono il quadrato in nove campi quadratici. Il lato del quadrato in questo modo viene diviso in tre parti e nel centro di esso si forma la croce quadrata (di forma greca). Questa croce nasce dall’intersezione di diagonali dalle proprietà irrazionali. Perciò è particolarmente importante. Le deduzioni simboliche s’impongono per se stesse. Per le proprietà significanti ed operative questo procedimento della divisione del quadrato in tre parti acquista un posto di prim’ordine tra i modi della composizione preromanica delle forme. La divisione in tre parti s’impiega nella progettazione dello spazio e nell’esecuzione dell’ornamento ad intreccio. Determina la composizione di piante di forme diversissime, armonizza i rapporti dell’elevazione verticale, ordina la struttura stereometrica. Attraverso essa si dispongono le posizioni delle finestre e delle lesene e le inclinazioni dei tetti. È particolarmente importante perché facilita la costruzione di una rete modulare del progetto. Lo schema compositivo permette che il progetto esecutivo, grazie ad un filo misuratore sul quale coi nodi furono fissate le unità di misura prescelta, venga trasferito al campo edile e che durante la costruzione le lunghezze occorrenti vengano definite nel modo più semplice. Se necessitano parti più piccole, la divisione si continua meccanicamente nei terzi e quarti.

Autore: Nenad Gattin; Mladen Pejaković
Pubblicazione:
Le Pietre e il Sole
Editore: Jaca Book
Luogo: Milano
Anno: 1988
Pagine:  252-260
Vedi anche:
Il sapere e il sistema (1)
Il sapere e il sistema (2)
Il sapere e il sistema (3)

Il sapere e il sistema (4)
Il sapere e il sistema (5)

Annunci

Il sapere e il sistema (1)

La costruzione è un’attività in particolar modo cosciente. È innanzitutto l’organizzazione di un certo numero di atti in successione temporale. Quando si costruisce, alcune operazioni inevitabilmente ne precedono altre, alcune precedono ed altre seguono, alcune sono cause che preparano azioni conseguenti. L’attività edilizia e la creazione di un’abitazione suppongono una coscienza molto chiara del tempo.
Ma il lavoro umano in un tempo organizzato non può esistere senza l’abitudine, i sentimenti ed i ragionamenti; non esiste senza la coscienza e la ragione, senza i numeri e le misure. La misura trasforma il tempo nello spazio, traducendo il flusso nella linea, la velocità nei nodi o un giorno di aratura in misura territoriale. La costruzione suppone il numero e la numerazione, le parti e l’unità, il progetto e l’esecuzione. Ma il progetto non si può realizzare senza la planimetria, questa prima parte della geometria. L’opera della costruzione raccoglie tutto il sapere del mondo visibile ed invisibile. Il mestiere riconosce la costituzione del suolo, le caratteristiche dell’acqua, la resistenza o la fragilità della materia, l’umore dei venti, le direzioni geografiche secondo il cielo diurno e notturno, le forze interne ed esterne che si manifestano nei contatti e nella mole del materiale. Il mestiere riordina con i numeri e con le figure, con il conto e con il disegno tutta questa moltitudine e diversità di usanze e di informazioni.

Gli storici della matematica affermano che l’alto medioevo è ancora debole nel calcolo. Il tempo dei santi, dei martiri e dei beati, il periodo dei pensatori gloriosi, da Alcuino a Scoto Eriugena fino ad Alberto Magno e Tommaso d’Aquino, nella scienza del numero non ha creato nessun Apollonio, Tolomeo, Papus o Proclo. Deboli sono sia l’aritmetica che la geometria. Quello che si sapeva prima si è dimenticato o perduto al tramonto del mondo antico o nella confusione della migrazione dei popoli. L’intero edificio della scienza antica è in rovina, e dovremo aspettare fino all’inizio del XII secolo per un rinnovo del sapere matematico. Nella fioritura della vita urbana, del mercato e dei vivissimi legami internazionali tra l’Oriente e l’Occidente, appare nel 1202 un mercante pisano, Leonardo detto Fibonacci, con l’opera Liber abaci. L’apparizione di questa opera significa l’inizio di un sapere matematico rinnovato. Questo compendio d’aritmetica è sorto grazie allo studio delle fonti indiane ed arabe, nel periodo del soggiorno di Leonardo in Algeria, Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Nel denso traffico della merce e del denaro, nelle complesse operazioni valutarie e nei rapporti intensi delle città mediterranee o nordeuropee con i paesi dell’Oriente lontano e vicino, il conto e la teoria aritmetica si presentano come una necessità quotidiana.

A dir il vero, la pratica degli abaciti, che calcolano abilmente sull’abaco movendo le palline segnate coi segni numerici, si è diffusa già nei secoli IX e X. Era stata perfezionata da Boezio, diplomatico, filosofo e martire della fede cristiana al tempo di Teodorico. È una figura importantissima per la continuità del sapere matematico tra i secoli antichi ed il medioevo. La sua Institutio arithmetica traduce ed elabora le speculazioni pitagoriche di Nicomaco, del I secolo d.C. L’autorità di Boezio e il contenuto della dottrina dei numeri sono inseriti nell’ambito di «sette arti liberali», che si compongono del Trivium (grammatica, retorica e dialettica) e del Quadrivium (aritmetica, geometria, musica e astronomia). Tramite Boezio la matematica alessandrina entra nelle scuole delle abbazie benedettine ed influisce sulla vita spirituale per oltre un millennio. Riconosciamo le tracce della dottrina del consigliere di Teodorico nelle opere di Alcuino e soprattutto presso il colto abate Gerberto, che nel 999 diventa papa Silvestro II. Anch’egli si è accostato alla matematica grazie a Boezio ma ha poi sviluppato e perfezionato le sue esperienze algebriche al contatto immediato con i matematici arabi in Spagna.

Il ragionamento sul numero, sulla figura e sulla bellezza serviva come base sia per le concezioni estetiche medioevali sia per le prassi artigianali dei diversi maestri.

Dal vescovo Isidoro di Siviglia, che mori nel 636, fino alla morte di san Tommaso d’Aquino nel 1274 un gran numero di scrittori ecclesiastici scrive i trattati sulla bellezza sotto l’influsso del quadrivio. L’aritmologia disputa il rapporto tra «uno» e «molto», tra ordine e moltitudine, tra principio maschile e femminile, tra mondo assoluto e struttura dei numeri eterni. I numeri non sono soltanto segni simbolici ma pure entità della realtà spirituale che governano le sfere macro e microcosmiche.

Le dispute sull’essere della creazione artistica, e cosi anche delle costruzioni, non sono nient’altro che dispute sull’applicazione dei rapporti numerici nella struttura delle figure. Speculazioni matematiche condizionano, in buona parte, anche la grammatica, la retorica e la dialettica.

Autore: Nenad Gattin; Mladen Pejaković
Pubblicazione: Le Pietre e il Sole
Editore: Jaca Book
Luogo: Milano
Anno: 1988
Pagine: 235-237