L’evoluzione del metodo nella matematica greca (1)

Sulla matematica greca, nell’arco temporale che va dal sesto alla fine del quarto secolo a.C., la ricerca storica ci presenta una vasta produzione di risultati che individuano una radicale diversità tra il metodo della matematica più antica, in particolare quello della scuola pitagorica e il metodo deduttivo della matematica razionale. Gli antichi pitagorici hanno costruito la loro conoscenza matematica sulla percezione e sull’induzione, come appare dalle testimonianze sia pur tarde ma autorevoli sulla loro produzione aritmetica e come lasciano intendere le ricostruzioni molto convincenti sullo sviluppo della teoria musicale, che sembra essere il paradigma metodologico di tutta la loro produzione. Il mutamento tra l’orientamento pitagorico e quello razionale si manifesta già a partire dalla seconda metà del quinto secolo a.C., a cominciare da Ippocrate di Chio di cui conosciamo attraverso Simplicio le famose quadrature delle lunule del cerchio da lui studiate con l’uso preminente di metodi fondati sulla dimostrazione razionale. Un altro significativo esempio è quello di Eudosso di Cnido che nella prima metà del quarto secolo a.C. ha generalizzato a grandezze qualsiasi la teoria dei rapporti e delle proporzioni, che i pitagorici limitavano al caso dei numeri naturali, teoria che doveva rendere possibile la trattazione della similitudine tra figure nella geometria razionale. L’orientamento razionale che si andava consolidando si afferma poi definitivamente nella trattazione sistematica della geometria e dell’aritmetica che si presenta alla fine del quarto secolo con gli Elementi di Euclide.

Di fronte ad una trasformazione così radicale dell’orientamento metodologico nella matematica greca che ha portato ad uno spostamento definitivo dell’autorità dai sensi alla ragione, il problema che si pone è di cercare di spiegarne l’origine. La tradizione antica racconta della scoperta dell’incommensurabilità e della conseguente crisi in seno alla scuola pitagorica; nondimeno anche se, come tutto lascia intendere, questa è stata la causa di quel profondo mutamento di orientamento rimane da spiegare come, a partire da questa scoperta, siano giunte in seno al pitagorismo quelle componenti di pensiero capaci di rifondare l’intero assetto della matematica. Su questo interrogativo non viene in aiuto alcuna tradizione, ma un esame storico approfondito può aiutarci a prospettare delle risposte ragionevoli.

La scuola pitagorica antica ha impiegato in matematica e in modo particolare in aritmetica, un metodo che ricalca quello che ha maturato in altri campi e soprattutto nello studio delle armonie musicali. La tradizione antica e la successiva elaborazione della dottrina (come quella neopitagorica), testimoniano del fatto che la spinta originaria essa l’abbia ricevuta dalla musica. Una vasta ricostruzione dell’antica teoria musicale pitagorica è stata elaborata da Arpád Szabó sulla base di una analisi filologica del lessico musicale, che ha permesso di risalire ai concetti attraverso il recupero dei significati originari di numerosi termini fondamentali, che scuole posteriori, in particolare quella di Aristosseno, avevano alterato. Lo scopo di questa ricostruzione è manifestamente storico, ma anche teoretico: la teoria musicale in tal modo ricostruita, è in grado di spiegare la nascita di importanti idee matematiche dei pitagorici, come la teoria pre-eudossiana dei rapporti e delle proporzioni che viene interpretata come un naturale correlato della musica, mentre si rende possibile la decifrazione dei concetti di rapporto composto, rapporto doppio, di differenza e di ordinamento di rapporti che prescindendo da quella ricostruzione sarebbero degli enigmi concettuali e linguistici. Di questa vasta teoria considereremo alcuni concetti fondamentali che hanno attinenza con quell’unità metodologica che cerchiamo di delineare.

L’origine della teoria risiede negli esperimenti acustici con i quali Pitagora avrebbe scoperto le consonanze principali, esperimenti che, come racconta Gaudentius, impiegavano il canone o monocordo, uno strumento costituito da un regolo la cui lunghezza veniva suddivisa in dodici parti uguali e lungo il quale veniva tesa una corda che era destinata a vibrare. Porfirio, come rileva A. Szabó, ci racconta che tra la corda e il regolo era inserito un ponticello (hypagogheus) che, opportunamente posizionato, separava l’intera corda in due parti consentendo di far vibrare una sola parte della corda e di lasciar ferma l’altra. Pitagora avrebbe trovato su questo strumento le tre più importanti consonanze note ai greci, le cosiddette consonanze o accordi di quarta, quinta e ottava, che sono ciascuna una coppia di suoni particolarmente graditi all’orecchio, che si ottengono facendo vibrare in un primo momento l’intero monocordo e in un secondo momento una parte di questo corrispondente a lunghezze in certo rapporto numerico con la lunghezza dell’intera corda: tre parti dell’intero per ottenere la consonanza di quarta, due parti per la quinta e la metà per l’ottava.

Si riconoscevano in tal modo tre rapporti numerici, rispettivamente 4 : 3 = 12 : 9 per la quarta, 3 : 2 = 12 : 8 per la quinta e 2 : 1 = 12 : 6 per l’ottava. Si vede allora che la suddivisione del canone in dodicesimi, di cui parla Gaudentius, è la più comoda corrispondendo al minimo multiplo comune delle misure 2, 3, 4.

Le lunghezze delle corde di una certa consonanza determinavano sul canone un ben preciso intervallo, costituito dalla parte del monocordo che nel secondo momento dell’esperimento rimaneva ferma; questo intervallo, che si chiamava diastema, era individuato dai suoi estremi o termini che si chiamavano horoi rappresentati da due numeri naturali che si potevano leggere sul canone. Così nel caso di una consonanza di quarta, quando veniva fatta vibrare l’intera corda, il ponticello sul canone era posizionato alla sua estremità (cioè sul numero 12) e si trovava sul numero 9 quando la corda vibrava una seconda volta. Le due posizioni del ponticello individuavano i termini, gli horoi 9 e 12 del diastema corrispondente, ma al tempo stesso individuavano anche le lunghezze delle corde della consonanza, e perciò anche i termini del loro rapporto cioè del corrispondente logos 12 : 9.

Questa corrispondenza tra diastema e logos suggerita dalla sperimentazione sul Canone, ha generato l’equivalenza tra i due vocaboli, che sono divenuti sinonimi, finendo per indicare concetti equivalenti nella terminologia dell’armonia pitagorica. Questo trova conferma nella testimonianza di Porfirio, che nel suo Commento alla teoria dell’armonia di Tolomeo scrive: “Molti kanonikoi e Pitagorici dicono intervalli (diastemata) invece di rapporti numerici (logoi)”. Un’altra conferma viene anche dalla Sectio canonis, opera di armonia di autore sconosciuto e fonte tra le più autorevoli della teoria musicale pitagorica, dove il vocabolo diastema è usato coerentemente per significare logos.

Ma il fatto che un vocabolo che significava ordinariamente “distanza” o “intervallo” sia divenuto sinonimo di “rapporto numerico” è un fenomeno che deve aver richiesto un lungo tempo per attuarsi, come si può ragionevolmente supporre.

Autore: Giacomo Michelacci
Periodico: Esercizi Filosofici
Anno: 2002
Numero: 6
Pagine: 180-182

Platone e l’analogia nel Timeo

L’analogia rappresenta un termine che il linguaggio metafisico desume dalle scienze matematiche.

Lo Piparo mette in rilievo[1] l’apporto che Eudosso, matematico contemporaneo di Platone, diede allo sviluppo di tale concetto. Nella formulazione eudossiana la proporzione permette di asserire l’invarianza, al di sotto di una apparente difformità, tra rapporti che coinvolgono determinazioni differenti o appartenenti a generi diversi. L’analogia è, quindi, una proporzione geometrica. Gli elementi di una coppia di grandezze risultano, in certe condizioni, tra loro in relazione nel medesimo modo in cui sono connessi altri due elementi di una seconda coppia di grandezze: A : B = C : D. Questa è, d’altronde, la concezione euclidea dell’analogia; Euclide nei suoi Elementi definisce la proporzione come un’identità tra rapporti[2].

Il Timeo platonico sviluppa una delle prime sistematiche applicazioni filosofiche di tale categoria matematica, ricorrendo all’analogia nella trattazione di una questione dal notevole interesse speculativo e dalla grande influenza per le successive dottrine neoplatoniche: l’organizzazione del cosmo fisico nel rapporto tra intelligibile e sensibile. Nel dialogo cosmologico, infatti, Platone cerca di illustrare, come è noto, la creazione del cosmo fisico ad opera del Demiurgo, divinità buona che plasma una materia eterna (la quale, quindi, preesiste alla sua operazione) prendendo a modello i paradigmi ideali. Platone asserisce che la creazione demiurgica è un atto finalizzato a creare un universo di bellezza e perfezione: il Demiurgo, infatti, è buono e libero da ogni forma di invidia, cosicché non può che essere spinto nel suo atto creativo a rendere ogni cosa il più simile possibile alla condizione divina alla quale egli stesso partecipa, donandole la massima armonia. In questo modo l’azione demiurgica porta tutte le cose dal disordine, proprio della materia originaria, all’ordine e dota ogni realtà di intelligenza e anima. Il cosmo, quindi, sarà una totalità ordinata e regolata da un’interna intelligenza, espressione di una sostanza psichica universale (non esiste, nota infatti Platone, atto intellettivo senza anima)[3].

Poiché il modello guardando al quale il cosmo è creato deve venir identificato con le realtà intelligibili, lo stesso mondo fisico dovrà possedere qualità simili a quelle della dimensione noetica. Il cosmo creato dal Demiurgo, quindi, sarà una totalità in sé risolta e dotata di massima coesione interna: unitaria nella differenza delle parti e priva di qualsiasi manchevolezza.

Platone osserva poi che il prodotto dell’attività creatrice del Demiurgo deve essere “corporeo, visibile e tangibile”[4]. Queste caratteristiche, tuttavia, possono derivare al cosmo fisico unicamente dalla partecipazione agli elementi del fuoco e della terra; il principio materiale del fuoco è, infatti, responsabile della visibilità, mentre l’elemento rappresentato dalla terra produce la solidità.

Platone nota, però, come due realtà diverse, quali sono il fuoco e la terra, non possono combinarsi e comporsi in maniera bella e perfetta se non attraverso un terzo elemento; il rapporto tra differenti, infatti, si realizza solamente attraverso la mediazione di un terzo termine che agisce come “potenza congiungente”.

Tale rapporto a tre termini non rappresenta ancora, tuttavia, la forma più completa di legame tra realtà diverse; l’autentica relazione perfetta tra differenti elementi è, invece, prodotta dall’ἀναλογία. L’analogia è in grado, asserisce Platone, di produrre una vera fusione tra i termini in questione, facendo delle “determinazioni legate” e del “legame stesso” un’unica cosa[5].

Platone fa riferimento prima a una analogia a tre termini, ovvero una proporzione nella quale i termini medi sono rappresentati da una stessa cifra, e poi alla proporzione a quattro termini. In entrambi i casi il meccanismo del calcolo proporzionale non cambia.

L’analogia a tre termini, infatti, permette di istituire una relazione tra due termini differenti attraverso la mediazione di un terzo elemento che sta in rapporto con entrambi nella medesima maniera: il termine mediano consente di individuare una sorta di continuità tra le determinazioni di partenza, permettendo di scoprire un nesso reciproco che le congiunge in una relazione. Platone illustra il funzionamento della proporzione sottolineando la convertibilità tra tutti i termini che la costituiscono: nella proporzione il medio sta all’ultimo termine come il primo sta al medio stesso; ma ancora il medio sta all’ultimo termine come il primo termine sta al medio. In questo modo primo e ultimo divengono medio e il medio diviene sia il primo che l’ultimo termine del rapporto proporzionale. Platone ritiene, allora, che così si produca una sorta di perfetta identificabilità di tutti gli elementi dell’analogia in un farsi uno e medesimo del differente.

L’analogia a tre termini deve, però, essere sostituita, nella spiegazione della creazione del corpo del mondo, con un’analogia nella quale i termini medi siano differenti. Platone argomenta laconicamente la necessaria diversità tra le determinazioni che costituiscono i medi proporzionali, ricordando che il cosmo deve essere una realtà solida e tridimensionale: corpi costituiti da lunghezza, larghezza e profondità devono essere congiunti da due medi tra loro non uguali.

Fuoco e terra occupano i due estremi della proporzione cosmica, mentre fra di essi si pongono acqua e aria: il fuoco sta all’aria come l’aria sta all’acqua, e come l’aria sta all’acqua così l’acqua sta alla terra. La perfetta unione tra i diversi elementi che così si ottiene produce l’indissolubilità delle differenti componenti dell’universo fisico. In questo modo l’universo materiale, organizzato attraverso la ratio analogica come un Tutto razionale e armonioso, è un riflesso efficace della perfezione della dimensione iperurania e ideale. La proporzione è, in questo modo, lo strumento teorico per pensare in modo rigoroso la connessione tra il mondo superiore e quello inferiore, tra l’intelligibile e il sensibile, tra l’ideale e il concreto, descrivendo matematicamente la continuità dei differenti livelli del cosmo tutti governati dalla medesima armonia.


[1] Cfr. E Lo Piparo, Aristotele e il linguaggio. Cosa fa di una lingua una lingua, Roma-Bari, Laterza 2003, p. 131-132.

[2] Cfr. Euclides, Elementa, ed. I. L. Heiberg, E. S. Stamatis, Leipzig, B. G. Teubner 1970, V, def. 8.

[3] Cfr. Platone, Timeo, 29 E-30 C.

[4] Cfr. Platone, Timeo, 31 B, 3.

[5] Cfr. Platone, Timeo, 31 C, 3.


Autore Francesco Paparella
Pubblicazione Le teorie neoplatoniche del simbolo. Il caso di Giovanni Eriugena
Editore Vita e Pensiero (Temi metafisici e problemi del pensiero antico. Studi e testi, 111)
Luogo Milano
Anno 2008
Pagine 38-40