La divisione dell’aritmetica (2)

Intorno al primo secolo a.C. sembra sia avvenuta una evolu­zione e che sia stata data una nuova lettura dell’aritmetica e della logistica. La logistica, infatti, fu ridotta alla risoluzione di calcoli artificiosi, mentre l’aritmetica diventa la teoria dei numeri. Proclo nel Commentarium in primum Euclidis Elementorum librum ci informa che oltre alla divisione pitagorica della scienza matematica esiste un’altra partizione, seguita tra gli altri anche da Gemino[1]. Questi matematici insieme a Gemino, appunto pongono, da un lato, la matematica che si occupa soltanto delle cose intelligibili, dall’altro, quella che si occupa delle cose sensibili, ed è ad esse applicata. La matematica che tratta delle cose intelligibili viene distinta innanzitutto in due parti principali e più nobili: aritmetica e geometria. La matematica che si occupa degli oggetti sensibili, invece, si divide in sei parti: meccanica, astronomia, ottica, geodesia, canonica e logistica. Dopo la distinzione della matematica in teoretica e pratica, e la descrizione generale della divisione dei due tipi di matematica nelle loro rispettive branche, il discorso procede volgendosi all’ana­lisi delle singole discipline:[2]

A sua volta l’aritmetica si divide allo stesso modo in teoria dei numeri lineari, dei numeri piani e dei numeri solidi; di fatto essa studia le specie del numero per se stesse, procedenti dall’unità, e la generazione dei numeri piani, simili e dissi­mili, e il loro procedere fino alla terza dimensione. La geodesia poi e la logistica, in modo analogo alle specie già dette, non su numeri e figure intelligibili fanno i loro ragionamenti, ma su oggetti sensibili. Non è infatti compito della geodesia misu­rare un cilindro o un cono, ma cumuli di terra considerati come coni e pozzi come cilindri; né di farlo mediante linee rette ideali, ma con rette sensibili, a volte più esatte come i raggi solari, a volte più grossolane come corde di sparto e filo a piombo. A sua volta il calcolatore studia le proprietà dei numeri non per se stessi, ma in quanto sono presenti nelle cose sensibili, per cui egli dà ai numeri un appellativo ricavato dalle cose misurate, chiamando alcuni numeri ‘meliti’ e altri ‘fialiti’.[3]

Mentre in Platone sia l’aritmetica che la logistica si articolavano entrambe in una disciplina pratica ed in una teoretica, ora solo l’aritmetica occupa il posto più nobile di scienza teoretica, mentre la logistica viene relegata sul piano dei sensibili, poiché è appli­cata agli oggetti. La logistica, in questo modo, assume un ruolo secondario rispetto all’aritmetica, che insieme alla geometria costituisce una delle branche della matematica più nobile, quella che studia gli intelligibili[4]. Un’altra descrizione della logistica, più dettagliata della precedente, si trova in uno scolio al Carmide (165e):

La logistica è la scienza che tratta degli oggetti numerati, non dei nume­ri; essa non considera il numero veramente, ma pone l’uno come monade, l’oggetto numerato come numero, per esempio, considera il tre come una triade e dieci come una decade: a tali casi applica i teoremi dell’aritmetica. Investiga, poi, da un lato, il problema chiamato da Archimede ‘dei buoi’[5], dall’altro, i numeri ‘meliti’ e ‘fìaliti’, che concernono gli uni il gregge e gli altri le coppe[6]. In altri casi investiga il numero di corpi sensibili, trattandoli come perfetti, com­piuti. Sua materia, suo oggetto, è tutto ciò che è numerato: le sue parti com­prendono i cosiddetti metodi greci ed egiziani riguardo alle moltiplicazioni e divisioni, così come le addizioni e le divisioni con le quali indaga i segreti celati negli argomenti dei problemi attraverso la teoria dei numeri triangolari e poligonali. Il suo fine è di offrire un patrimonio comune nella vita e utile per i contratti, anche se sembra considerare i sensibili come perfetti.[7]

Lo scolio presenta la logistica come scienza che non studia i numeri in se stessi, bensì le cose numerate, vale a dire i numeri applicati e connessi ad oggetti concreti. Nella logistica rientrano le operazioni aritmetiche, la risoluzione di problemi aritmetici, ma che sono sempre calati nel mondo sensibile e materiale, mai concepiti in modo astratto. Per concludere, anche il fine della logistica è di carattere pratico, in quanto essa riveste una funzione di utilità comune come supporto per le esigenze della vita quotidiana.

Infine Anatolio[8] citato da Erone ci fornisce informazioni analoghe sulla logistica e sull’aritmetica con la stessa divisione della matematica proposta da Gemino:

«Quante sono le branche dell’aritmetica?» «Due sono le branche principali della matematica prima e più nobile, l’aritmetica e la geometria, mentre sei sono le branche della matematica che concerne i sensibili, la logistica, la geodesia, l’ottica, la canonica, la meccanica e l’astronomia. Che la cosiddetta tattica, l’architettura, la musica popolare, lo studio delle fasi lunari e la meccanica così detta per omonimia, non sono parti della matematica, come alcuni ritengono, dimostreremo con chia­rezza e con metodo».[9]

Dunque all’epoca degli interpreti di Platone la logistica sembra ridursi esclusivamente ad arte del calcolo legata ad oggetti sensibili, mentre l’aritmetica diventa scienza puramente teoretica. Il passo distingue una matematica teoretica più degna ed elevata da una matematica di carattere pratico, poiché coinvolta nella materia dall’applicazione ad oggetti concreti. La matematica teoretica si articola in aritmetica e geometria, che sono concepite dunque come scienze astratte, mentre la matematica di rango meno elevato si suddivide in sei branche, tra cui troviamo la logistica, tutte in connessione con i sensibili[10].


[1] Gemino, matematico ed astronomo, visse nel I secolo a. C. Della sua vita si sa molto poco. Secondo la tradizione nacque a Rodi. Ci è pervenuta una sola opera, un’Introduzione ai fenomeni. Si tratta di un manuale elementare di cosmografia. Gemino fu autore di altri scritti. Simplicio ci ha conservato un estratto di un’altra opera, un trattato di meteorologia, cioè di astronomia fisica. Infine numerosi frammenti conservati da Proclo nel Commentarium in primum Euclidis Elementorum librum fanno parte di una terza opera di matematica.

[2] La divisione della matematica secondo i pitagorici, presentata da Proclo immediatamente prima della citazione di Gemino, si basa sul ‘quanto’ e sul ‘quanto grande’, vale a dire, sulla quantità e sulla grandezza. La quantità, a sua volta, può essere assoluta, considerata solo in se stessa, o relativa, vista in rapporto ad un’altra quantità. La grandezza, poi, può essere stabile o in movimento. Si ottengono così quattro diverse entità che diventano oggetto di studio di quattro sezioni della matematica: l’aritmetica considera la quantità assoluta, mentre la musica studia la quantità relativa; la geometria si occupa della grandezza immobile, l’astronomia, infine, studia la grandezza mobile. Si può rappresentare graficamente la divisione pitagorica della matematica in questo modo:

assoluta = aritmetica

quantità

relativa = musica

 

in quiete = geometria

grandezza

in movimento = astronomia

La divisione della matematica proposta da Gemino si può schematizzare nel modo seguente:

intelligibili

geometria   aritmetica

meccanica   astronomia   ottica   geodesia   canonica   logistica

sensibili

[3] Procl, In Eucl. p. 39, 14-40, 5 Friedlein (trad. di Maria Timpanaro Cardini 1978).

[4] La distinzione tra aritmetica e logistica, secondo Proclo, non è solo sincronica, ma anche diacronica, giacché prima sarebbe nata l’arte del calcolo come risposta ad esigenze pratiche, poi, solo successivamente si sarebbe passati alla teoria dei numeri. Nel suo commento ad Euclide egli ci informa che l’esatta conoscenza dei numeri e l’arte del calcolo ebbero inizio presso i Fenici a causa dei commerci. Un’esigenza pratica, aggiunge, sta all’origine di questa come di molte altre scienze; dall’arte del calcolo, infatti, si passò alla fase successiva della conoscenza ragionata, poiché ciò che è imperfetto procede verso ciò che è perfetto. Poiché, dunque, viene cronologicamente prima dell’aritmetica, la logistica è inferiore ed imperfetta, dato che l’aritmetica rappresenta la progressiva liberazione dal contingente e l’acquisizione della riflessione astratta.

[5] II problema dei buoi consiste nel cercare di trovare il numero di cui sono costituiti quattro gruppi di buoi e quattro gruppi di mucche (ciascun gruppo è di colore diverso), quindi si tratta di determinare otto quantità ignote attraverso sette equazioni ed altre due condizioni note.

[6] Numeri ‘fialiti’ deriva da φιάλη ‘coppa’: si allude ad un problema aritmetico connesso evidentemente al numero delle coppe; analogamente i numeri ‘meliti’, da μῆλον ‘pecora’, riguardano un altro problema aritmetico legato al numero delle pecore. Quali siano i numeri ‘meliti’ e ‘fialiti’ si evince da un passo delle Leggi (VII, 819bl-c7): «I cittadini liberi debbono imparare tutto quello che in Egitto la enorme massa dei bambini apprende insieme ai primi rudimenti della scrittura. Innanzitutto si insegnano ai bambini piacevolmente, mentre giocano, i calcoli aritmetici senza pesare su di loro, per esempio dividendo delle mele o delle corone fra un numero più o meno grande di scolari, e prendendo numeri adatti […] Altri dopo aver mescolato un certo numero di coppe d’oro, d’argento, di bronzo e di altre simili materie, come per gioco, le distribuiscono, e adattano al gioco le nozioni utili di aritmetica, in modo che i bambini vengono cosi preparati ad ordinare le schiere, a guidarle, a condurre una spedizione, all’economia domestica, e diventano molto più utili e più abili».

[7] Il testo dello scolio con una traduzione inglese si trova in I. Thomas, Selections illustrating the history of Greek mathematics with an English translation, London 1939, vol. l, pp.16-18. Un breve commento a questo scolio si trova in G. Loria, Le scienze esatte nell’antica Grecia, Modena 1902, p. 26 sgg.

[8] Anatolio visse tra il 230 e il 300. Insegnava filosofia ad Alessandria. Convertitosi al cristianesimo, fu nominato, intorno al 270, vescovo di Laodicea. Fu autore di un’Introductio arithmeticae in dieci libri e di altre opere sulla logistica egiziana e sul metodo per calcolare la data della Pasqua. Scrisse, inoltre, un trattato aritmologico De decade.

[9] Anatolius apud Heron. Def. 164, 9-18 Heiberg. II passo è stato tradotto in lingua inglese da I. Thomas, op. cit., 1939, pp. 18-19.

[10] La divisione della matematica proposta da Anatolio si può schematizzare nel modo seguente:

Matematica teoretica

Aritmetica               Geometria

Matematica pratica

logistica   geodesia   ottica   canonica   meccanica   astronomia


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 16-19

La divisione dell’aritmetica (1)

Nell’antichità il termine aritmologia non esisteva. Ciò significa che essa non era sentita come una dottrina a se stante, o come un ramo dell’aritmetica, ma come parte di essa.

Alla base del sorgere di un nuovo termine, infatti, si pone la necessità di identi­ficare e definire un nuovo concetto; se non si avverte tale necessità, significa che il concetto non si è ancora formato, non ha ancora preso corpo e la consistenza necessari per presentarsi alla coscienza come un qualche cosa di autonomo ed indipendente per il quale urge l’identificazione linguistica; esso rimane in uno stato magmatico, indistinto dalla materia che lo circonda, ancora parte di essa. Così, la mancanza sul piano linguistico di un termine per designare i significati simbolici dei numeri (aritmologia) rivela l’analoga mancanza, sul piano concettuale, della nozione di ‘dottrina speciale dei nume­ri’ separata dall’aritmetica, l’assenza di una coscienza aritmologica, per così dire, da contrapporre ad una coscienza aritmetica.

Perché la distinzione tra aritmetica e aritmologia venga operata o suggellata dall’introduzione di un termine specifico per identificare una certa dottrina dei numeri, molti secoli dovranno passare. Prima di esaminare questo aspetto, è utile considerare come l’antichità concepiva l’aritmetica al fine di comprendere meglio il posto che occupava in essa l’aritmologia e come vi si inseriva. L’antichità talvolta distingueva tra aritmetica (ἀριθμητική) e logistica (λογιστική). Le principali fonti che attestano questa distinzione sono Gemino citato da Proclo nel suo Commentarium in prιmum Euclidis Elementorum librum, uno scolio al Carmide di Platone e Anatolio citato da Erone nelle Definizioni. Già in Platone, tuttavia, troviamo insieme i due termini aritmetica e logistica. Comprendere quale significato il filosofo attribuisca loro è alquanto problematico, poiché i numerosi passi dei dialoghi dedicati a questo argomento presentano notevoli differenze. Talvolta Platone parla di aritmetica e logistica insieme[1], talvolta, invece, ope­ra un’accurata distinzione tra le due[2]; ci sono passi dove egli menziona solo la logistica[3] e non l’aritmetica, ed altri dove compare anche un altro termine, μετρητιή, ovvero arte della misura[4]. Talvolta Platone distingue una logistica pratica ed una logistica teoretica, così come un’aritmetica pratica ed una teoretica[5]. Tuttavia, la differenza tra l’aritmetica e la logistica sembra corrispondere a quella che intercorre rispettivamente tra il contare e il calcolare. Nel Gorgia, infatti, Platone afferma che:

Se per esempio uno mi chiedesse, a proposito di una qualsiasi di quelle arti di cui proprio ora ti facevo menzione: «Socrate, che cos’è l’aritmetica?» – gli risponderei, come tu poco fa, che è una delle arti che hanno la propria validità nel discorso. E se mi domandassero ancora: «Fra queste, a quale specifico oggetto si riferisce?» – risponde­rei che si riferisce al pari e al dispari, qualunque possa essere la quantità particolare di ciascuno di essi.

Se poi ancora mi si chiedesse: «Quella che chiami ‘calcolo’ che arte è?» – rispon­derei che anche il calcolo è una delle arti la cui validità è del tutto nel discorso. E se di nuovo mi interrogassero: «In riferimento a quale specifico oggetto?» – risponderei, come i redattori di decreti nell’assemblea del popolo, che «per tutto il resto» il calcolo è come l’aritmetica, perché si riferisce allo stesso oggetto, cioè al pari e al dispari: ma differisce su questo punto: che il calcolo considera il valore numerico che hanno il pari e il dispari, sia ciascuno in sé, sia nelle loro relazioni reciproche.[6]

L’aritmetica è l’arte del numero, dell’ἀριθμός, in quanto ogni volta che si deside­ra determinare il numero di un gruppo di oggetti, occorre conoscere i numeri, vale a dire saper contare, come Platone afferma nella Repubblica:

Quella comunissima che distingue l’uno, il due e il tre: intendo insomma la scienza dei numeri e del calcolo»… «Ed è proprio ridicola la figura che ogni volta Palamede fa fare ad Agamennone nelle tragedie: non hai capito che è lui, l’inventore dell’aritmetica, a disporre i soldati in campo davanti a Ilio e a contare le navi e tutto il resto, come se prima di lui nessuno li avesse mai contati e Agamennone, a quanto pare, non sapesse neppure quanti piedi avesse, dato che non sapeva contare?[7]

Conoscere l’uno, il due e il tre è compito della scienza dell’ἀριθμός e del λογισμός. Qui numero e calcolo sono ancora associati, ma poco dopo Platone usa il solo verbo ἀριθμεῖν con il significato di contare. Tutte le volte, invece, che vogliamo modificare numero del suddetto gruppo di oggetti, dobbiamo ricorrere alle operazioni, per esem­pio una sottrazione o una divisione ecc. Ma per poter applicare le operazioni o proce­dere ad un qualsiasi calcolo, occorre conoscere quali relazioni intercorrano tra i numeri dato che essi le implicano necessariamente. Questa scienza si chiama arte del calcolo o logistica. Sia l’aritmetica sia la logistica riguardano il pari e il dispari, vale a dire, in sostanza, tutti i numeri, tuttavia la prima si limita ad essere semplice conoscenza dei numeri, la seconda, invece, è anche conoscenza delle relazioni dei singoli numeri con se stessi e tra di loro. Nel Carmide Platone dà una definizione della logistica analoga a quella del Gorgia. Tuttavia, come si è accennato sopra, Platone distingue talvolta un’aritmetica e logistica dei molti e un’aritmetica e logistica dei filosofi, vale a dire un’aritmetica e logistica pratiche ed un’aritmetica e logistica teoretiche:

L’aritmetica in primo luogo, non bisogna forse dire che una è quella dei più, un’altra è quella dei filosofi?» «E come, allora, si può distinguere un’aritmetica dall’al­tra?» «Non è una distinzione da poco, Protarco. Infatti, tra quelli che si occupano del numero, gli uni numerano unità disuguali, come due eserciti, due buoi, due oggetti qualsiasi, i più piccoli o anche i più grandi di tutti; gli altri, invece, non accetterebbero mai di associarsi a questi, se non si stabilisce che nessuna delle innumerevoli unità è diversa da un’altra»… «Prendiamo la tecnica del calcolo e quella della misurazione utilizzate dai lavoratori delle costruzioni e dai commercianti, poste in confronto con quelle usate nella filosofia quando si occupa di geometria e di calcoli esatti: di ciascuna bisogna dire che è una sola o dobbiamo considerarla duplice?» «Sulla base dei discorsi precedenti, personalmente voterei a favore della tesi che ciascuna di esse è duplice.[8]

Le discipline pratiche usano unità non indistinte tra di loro, vale a dire numeri concreti, mentre le discipline teoretiche si fondano soltanto su unità tutte uguali tra di loro, concepite quindi come indifferenziate. La logistica pratica è legata all’attività dei mercanti[9] e alle necessità della vita quotidiana, e insieme alla ἀριθμητική, l’arte della misura, e all’aritmetica è usata nella costruzione e nel commercio. La logistica teoretica, invece, è interpretata come teoria dei rapporti tra numeri e delle proporzioni.


[1] Plat., Resp. VII, 522c.

[2] Plat., Gorg. 451b-c; Charm. 165e-166a, dove Platone dà una definizione della sola logistica.

[3] Plat., Pol. 259e-260b.

[4] Plat., Phil. 56e; Prot. 356a, dove di menzionano μετρητιή e λογιστική.

[5] Plat., Phil. 56d-57d; Resp. VII, 525b-d; Leg. VII, 817e-819d.

[6] Plat., Gorg. 451b-c (trad. di Stefania Nonvel Pieri 1991).

[7] Plat., Resp. VII, 522c (trad. di G. Lozza 1990).

[8] Plat., Phil. 56d-57a (trad. di M. Migliori 1995). Si legga anche il seguente passo della Repubblica (VII, 522c-d, trad. di G. Lozza 1990): «Ma tutta la scienza del calcolo e l’aritmetica riguardano i numeri?» «Certo.» «E sembra che queste discipline attirino verso la verità». «In misura eccezionale!» «Dunque una delle discipline che cerchiamo è questa. Infatti un guerriero deve apprenderla per la tattica, un filosofo per raggiungere l’essere ed emergere dal divenire; altrimenti non sarà mai un esperto di aritmetica».

[9] Plat., Resp. VII, 525c.


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 13-16