La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (2)

La successione dei numeri 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27 presenta una difficoltà: l’ordine crescente in cui essi sono disposti è infatti turbato dall’anteposizione del 9 all’8. Ciò spinge a considerare diversamente la serie[1], la quale si trova in realtà costituita da due progressioni geometriche di base 2 e 3. Gli stessi numeri possono cioè scriversi così: 1, 21, 31, 22, 32, 23, 33, venendo quindi interpretati come potenze[2]. In tal modo l’incongruenza sparisce, poiché 32 è potenza minore – anche se valore maggiore – di 23. Da questo discende una conseguenza importante, il cui peso diverrà evidente più oltre: le due serie vanno intese e scritte separatamente l’una dall’altra. A Crantore, che per primo fra gli ἐξηγηταί antichi adottò la scrittura separata, risale l’idea di disporre le due serie – dette anche τετρακτύες, ossia ‘gruppi di quattro (numeri)’ – in forma di lambda, cioè di triangolo[3]: l’1 al vertice, la serie del 2 a sinistra, la serie del 3 a destra, così:

1

2    3

4         9

8               27

L’uno, come si sa, veniva considerato il principio di tutti i numeri, della serie dei pari e dei dispari: aggiunto a un pari dà infatti un dispari, aggiunto a un dispari dà un pari. Lo schema a forma di lambda nasce da quest’idea.

La ragione per cui Platone si ferma, nelle progressioni, alla terza potenza (23, 33) è – secondo l’opinione comune – che il cubo simboleggia le tre dimensioni del corpo: così strutturata, l’anima può, come deve, ordinare e conoscere ogni oggetto, a una, due o tre dimensioni.

 

(b) 35 c 2 – 36 a 5

Successivamente, il demiurgo riempì gli intervalli doppi e tripli, ritagliando, sempre da quell’impasto, delle altre porzioni, e mettendole in mezzo agli intervalli, di modo che in ciascuno di essi vi fossero due medietà: una superiore a uno degli estremi e inferiore all’altro della stessa quantità degli estremi stessi; l’altra superiore a uno degli estremi e inferiore all’altro della stessa quantità.

Tra i numeri di ognuna delle due τετρακτύες ci sono degli intervalli (διαστήματα o διαστάσεις)[4]. 1 e 2, 2 e 4, 4 e 8 sono separati da «intervalli doppi», essendo ciascun numero il doppio del precedente; 1 e 3, 3 e 9, 9 e 27 sono separati da «intervalli tripli», essendo ciascun numero il triplo del precedente[5].

Il demiurgo si appresta ora a «riempire» ciascuno di questi intervalli, ossia a trovare altri numeri, compresi fra gli estremi di ciascun intervallo, che in qualche modo colmino il “vuoto” costituito dall’intervallo stesso[6]. Quest’operazione è della massima importanza.


[1] A. Boeckh, Über die Bildung der Weltseele im Timaeos des Platon, in August Boeckh’s Gesammelte Kleine Schriften, Bd. 3: Reden und Abhandlungen, hrsg. von F. Ascherson, Leipzig 1866, pp. 109-180, p. 162 nota 1, ritenne di poter sorvolare sul motivo di quest’anteposizione, giudicandolo «unwesentlich»; mentre secondo nella Notice a Platon, Timée-Critias, texte établi et traduit par A. Rivaud, Paris 1963, p. 43, Platone avrebbe qui invertito l’ordine «pour une raison qu’il n’indique pas». Per conto mio, questo punto non è né trascurabile né insondabile: l’inversione, credo, ha il preciso scopo di segnalare che il legame importante non è tra i nudi valori dei numeri, bensì tra i numeri considerati come potenze (così anche Brisson, Brisson, Le même et l’autre dans la structure ontologique du Timée de Platon. Un commentaire systématique du Timée de Platon, Paris 1974, p. 315 e, prima ancora, R. D. Archer-Hind, in The Timaeus of Plato, edited with introduction and notes by R. D. Archer-Hind, New York 1973 [I ed. London 1888], p. 108). Ciò pare confermato dalle espressioni con cui nel prosieguo del testo ci si riferisce ai numeri stessi: non li si menziona più “per nome”; si parla invece di ‘intervalli’ doppi e tripli.

[2] Alcuni studiosi, tra i quali A. E Taylor, A Commentary on Plato’s Timaeus, Oxford 1962, p. 137, e Brisson, ibid., pongono come primo termine della serie 20 e 30 (numeri che, come è noto, sono entrambi uguali a 1). Preferisco evitare quest’uso, dal momento che ai greci la nozione di ‘zero’ pare fosse sconosciuta: tanto più, quindi, l’operazione di elevamento a potenza con esponente zero.

[3] Cfr. Plutarco, An. Procr., 1027 d: «Il problema della disposizione riguarda la questione se tutti i numeri debbano essere collocati in un’unica linea, come pensava Teodoro, o piuttosto in una figura a forma di L, come Crantore, con il primo termine collocato al vertice e i numeri doppi e tripli disposti separati in due linee» (Plutarco, La generazione dell’anima nel Timeo, a cura di F. Ferrari e L. Baldi, Napoli 2002, nota 1). Lo stesso Plutarco esprime la sua preferenza per questa scrittura (cfr. 1017 b: Platone vuole che i numeri siano disposti ἐναλλὰς καὶ ἰδίᾳ, «in modo alternato e separatamente»); del medesimo avviso è Teone di Smirne (cfr. il cap. xxxviii dell’edizione francese curata da J. Dupuis: Théon de Smyrne, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, ed. par J. Dupuis, Paris 1892).

[4] Tra queste due parole non sembra esserci alcuna apprezzabile differenza di significato. A 43 d 5 si trova, con lo stesso valore, il termine ἀπόστασις (lì il discorso riguarda le anime razionali umane, e non l’anima del mondo; ma, avendo le prime la medesima struttura della seconda, è chiaro che ἀπόστασις, propriamente ‘distanza’, va inteso come sinonimo di διάστημα o διάστασις). Qualche parola in più merita διάστημα. Si tratta di un vocabolo molto importante, in quanto possiede un preciso significato tecnico sia in geometria sia in musica. Nell’ambito della geometria, esso designa la ‘distanza’. In musica, invece, διάστημα indica la distanza tra due suoni di altezza diversa, ossia l’‘intervallo’. Nel corpus dei dialoghi, il termine compare in alcuni luoghi con il significato di ‘intervallo musicale’ (cfr. ad es. Resp. VII 531 a, e Phil. 17 c 11). Credo che, nel passo del Timeo in esame, il valore della parola sia generico: ho scelto di seguire la consuetudine, traducendola con ‘intervallo’, perché, rispetto a ‘distanza’, ‘intervallo’ mi sembra indicare meglio ciò che sta (-στημα) in mezzo a due (δια-) oggetti qualsiasi, lo spazio che li separa, che poi sarà riempito. Soltanto più avanti nel testo al senso generico si sovrapporrà quello specifico e inequivocabile di ‘intervallo musicale’: e allora questa scelta di traduzione avrà il vantaggio di poter essere mantenuta, rispettando così l’identità dei termini in greco. Come ha mostrato A. Szabó, Le début des mathématiques grecques, Paris 1977, pp. 126-129, il termine διάστημα aveva, presso i pitagorici, il significato di ‘rapporto’ (mentre, com’è noto, ‘rapporto’ in greco si dice solitamente λόγος). Infatti: «dans les expériences acoustiques des Pythagoriciens, le mot διάστημα au sens de ‘segment’ désignait proprement la portion de corde placée au-dessus du canon qui était interceptée au moment où, après avoir pincé le monocorde entier, on produisait le deuxième ton d’un accord, ce qui était nécessaire pour obtenir un intervalle musical. Voilà pourquoi le mot qui signifiait proprement ‘segment’ a reçu aussi le sens d’‘intervalle musical’. Et puisque les extrémités (ὅροι) de ce segment correspondent à des numéros (nombres) sur le canon, le mot διάστημα a servi aussi a désigner le genre de ‘relation entre deux nombres’ que sont les rapports numériques des accords (12:6, 12:9, 12:8, etc.)». Leggendo il passo del Timeo in esame, è difficile sottrarsi all’impressione che Platone conoscesse – e avesse qui in mente – anche questo significato del termine.

[5] Che Platone voglia tenere distinte e separate le due successioni mi sembra trovare una conferma decisiva proprio in quest’espressione. Egli, come ho già rilevato supra, alla nota 9, parla d’ora in avanti sempre in termini di ‘intervalli’, non mai di numeri: e appunto gli intervalli doppi e tripli, non i numeri, sono oggetto delle successive operazioni di riempimento compiute dal demiurgo (né, del resto, avrebbe senso parlare di ‘riempimento’ a proposito di semplici numeri). Disponendo i numeri in un’unica serie, come fa Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, p. 66 (il quale peraltro crede di poter sorvolare sull’anteposizione del 9 all’8), si ottiene un risultato completamente diverso rispetto a quello indicato da Platone: gli intervalli tra 2 e 3, 3 e 4, 4 e 9, 8 e 27 non sono né doppi né tripli.

[6] ‘Colmare’ è detto in greco συμπληρόω. Si tratta di un verbo composto con la preposizione σύν-, come molti usati nel Timeo a descrivere l’attività artigianale del demiurgo (il quale viene così ad essere fondamentalmente un ‘assemblatore’). Ora, è noto che σύν, come preposizione e come preverbio, esprime l’idea contraria rispetto a διά: divaricazione e distanziamento da una parte, congiunzione dall’altra. Non è senza significato allora che Platone adoperi συμπληρόω al posto del semplice ληρόω: ‘colmare’ gli intervalli significa avvicinare gli estremi staccati, legare assieme, a due a due, i termini prima separati.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 10-13

La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (1)

L’oscurità del Timeo platonico è, si può dire, leggendaria; essa fu del resto riconosciuta e sottolineata fin dall’antichità. Gli stessi discepoli e immediati successori di Platone alla guida dell’Accademia, Speusippo e Senocrate, si dedicarono entrambi, fra le altre cose, all’interpretazione di quest’opera; il primo a comporre opere dedicate espressamente alla delucidazione dei luoghi più ardui del dialogo fu Crantore di Soli, allievo di Senocrate e quindi ancora piuttosto vicino a Platone. Il bisogno di fare i conti con il Timeo si manifestò dunque assai presto e continuò ininterrotto per secoli, come attesta l’abbondantissima produzione di scritti esegetici in merito[1].

Un passo del dialogo al quale il giudizio concorde di lettori antichi e moderni ha attribuito in modo particolare la caratteristica dell’oscurità è certo quello relativo alla cosiddetta divisio animae. Alle righe 35 b 4 – 36 b 6, Timeo, il presunto pitagorico di Locri al quale è messo in bocca l’exposé cosmologico che costituisce la magna pars dell’opera, descrive come il demiurgo, dopo aver costituito attraverso un procedimento di mescolanze successive l’anima del mondo, si appresti a dividerla secondo precisi rapporti numerici. L’esatto significato di queste operazioni di divisione è stato, come detto, materia di dibattito serrato fin dall’antichità. Per un lettore moderno la corretta comprensione del passo è anche più difficile, dal momento che essa presuppone la conoscenza di nozioni di aritmetica e di musica antiche.

Qui vorrei cercare di sciogliere, per quanto possibile, il nodo davvero aggrovigliato che queste righe rappresentano, tenendo sì davanti agli occhi, com’è naturale, i tentativi già fatti in questo senso, ma provando anche a battere fino in fondo una via d’interpretazione che non mi sembra sia stata messa finora sufficientemente a frutto.

Il metodo più conveniente, chiaro ed economico per venire a capo del problema è, credo, di seguire il discorso platonico passo passo. Riporto pertanto le righe di greco, dandone subito sotto una traduzione; approfondisco poi le questioni che di volta in volta sorgono e ne propongo una soluzione; rinvio invece alle note l’esame della letteratura critica, che, condotto direttamente nel testo, potrebbe turbare la linearità (e dunque la chiarezza) dell’esposizione. Scandisco l’analisi in tre fasi, (a), (b) e (c), com’è suggerito peraltro dalla struttura non solo logica, ma anche grammaticale del passo.

 

(a) 35 b 4 – c 2

Il demiurgo incominciò l’opera di divisione così. Tolse dall’intero, all’inizio, una parte, uguale a uno; poi ne tolse una seconda, doppia della prima; ne tolse poi ancora una terza, uguale a una volta e mezzo la seconda e a tre volte la prima; una quarta, doppia della seconda; una quinta, tripla della terza; una sesta, uguale a otto volte la prima; infine una settima, uguale a ventisette volte la prima.

Nelle righe immediatamente precedenti a quelle citate, Timeo ha descritto la costituzione dell’anima del mondo da parte del demiurgo. Poiché tale costituzione avviene secondo mescolanze successive, si può pensare che il demiurgo trovi davanti a sé un impasto informe derivato dal mélange dei diversi ingredienti[2]. Egli si appresta ora a dividere l’impasto «in tante parti quante era conveniente», provvedendo così all’anima quella struttura ordinata di cui essa era ancora priva – e precisamente una struttura numerica, che trova la sua suprema manifestazione sensibile nella regolarità dei movimenti astrali dall’anima governati (χορεῖαι li chiamavano i greci, cioè “danze” celesti).

Dalla prima divisione derivano alcune porzioni di anima – o anche, proseguendo l’immagine – alcune porzioni di “impasto d’anima”, le quali sono legate tra loro da precisi rapporti di proporzione[3]. La prima parte tolta all’intero è posta come uguale a uno[4] e rappresenta perciò l’unità di misura rispetto alle altre[5]. Della seconda si dice che è doppia rispetto alla prima: l’indicazione ha dunque un valore solo relativo; uguagliata la prima a uno, la seconda corrisponde a due. La terza parte corrisponde, secondo le indicazioni, a tre (tripla della prima e una volta e mezza la seconda); la quarta vale quattro (è doppia della seconda, che corrisponde a due); la quinta a è uguale a nove (è cioè tripla della terza, che vale tre); la sesta corrisponde a otto (cioè è otto volte la prima, che vale uno); la settima infine è uguale a ventisette (è infatti ventisette volte la prima).

Alla fine della prima operazione il demiurgo ha ottenuto perciò sette porzioni d’anima, sottraendole ad una ad una dall’impasto iniziale[6]. Occorre non dimenticare mai che quando d’ora in avanti si parlerà di numeri dell’anima, ci si riferirà sempre a delle porzioni (μόρια) di anima, a parti di quell’impasto psichico da cui l’operazione divisoria ha preso le mosse[7].


[1] «Kein Werk Platons, ja, keine andere Prosa-Schrift überhaupt, hat in der Antike größere Bedeutung gehabt als der Timaios – und das, obschon dieser Dialog als ‘dunkel’ galt», scrive M. Baltes in H. Dörrie – M. Baltes, Der Platonismus in der Antike, Bd. 3: Der Platonismus im 2. und 3. Jahrhundert nach Christus, Stuttgart-Bad Cannstatt 1993, p. 209. Baltes, ibid., nota 2, elenca ben ventiquattro personalità, tra filosofi, medici e scienziati, che a diverso titolo si occuparono del Timeo nella sola età ellenistica.

Su tutto ciò le principali fonti antiche sono il De animae procreatione in Timaeo di Plutarco (edito di recente in italiano: Plutarco, La generazione dell’anima nel Timeo, a cura di F. Ferrari e L. Baldi, Napoli 2002) e, naturalmente, l’amplissimo commento al Timeo di Proclo (del quale esiste una traduzione francese: Proclus, Commentaire sur le Timée de Platon, traduction et notes par A. J. Festugière, Paris 1966-1968; per il greco bisogna ricorrere invece a Proclus Diadochus, In Platonis Timaeum Commentaria, edidit E. Diehl, Lipsiae mcmiv). Quanto alla letteratura critica, il rinvio d’obbligo è ai due volumi di M. Baltes, Die Weltentstehung des platonischen Timaios nach den antiken Interpreten, Leiden 1976-1978, che, secondo il titolo, sono dedicati alle interpretazioni antiche dello specifico problema della cosmogonia nel Timeo, ma che contengono moltissimo e interessantissimo materiale sulla Wirkungsgeschichte del dialogo. Le critiche di Aristotele al Timeo sono esposte ed esaminate da G. Claghorn, Aristotle’s Criticism of Plato’s Timaeus, The Hague 1954. Dell’esegesi antica, e in particolare medioplatonica, del Timeo si occupa da anni Franco Ferrari: di lui si vedano soprattutto il contributo I commentari specialistici alle sezioni matematiche del Timeo, in La Filosofia in età imperiale. Le scuole e le tradizioni filosofiche, Atti del Colloquio tenutosi a Roma, 17-19 giugno 1999, a cura di A. Brancacci, Napoli 2000, pp. 171-224; l’articolo Struttura e funzione dell’esegesi testuale nel medioplatonismo: il caso del Timeo, «Athenaeum», lxxxix (2001) pp. 525-570, nonché l’introduzione e le note alla citata edizione del De animae procreatione in Timaeo di Plutarco.

Circa l’oscurità del dialogo e le difficoltà di comprensione dei lettori antichi, oltre alle parole di Cicerone riportate in esergo – sulle quali si può vedere F. Brignoli, L’oscurità del Timeo platonico secondo Cicerone e Gerolamo, «Giornale italiano di filologia», xii (1959) pp. 56-63 -, mette conto citare l’esordio del commento al Timeo di Calcidio: «Timaeus Platonis et a veteribus difficilis habitus atque existimatus est ad intellegendum». A questo proposito cfr. ancora Ferrari, Struttura e funzione cit., pp. 530-533, e Id., Galeno interprete del Timeo, «Museum Helveticum», lv (1998) pp. 14-34, in part. pp. 16-20.

[2] Come è noto e come ha documentato in modo esauriente L. Brisson, Le même et l’autre dans la structure ontologique du Timée de Platon. Un commentaire systématique du Timée de Platon, Paris 1974, pp. 35-55, il demiurgo costituisce il mondo compiendo operazioni artigianali di vario tipo. Nel caso dell’anima del mondo, egli fonde assieme tre ingredienti – essere, identico, diverso – ottenendo una miscela. Nel prosieguo del dialogo, a 41 d 4, apprendiamo che, da competente artigiano qual è, il demiurgo si è servito a questo scopo di un cratere, cioè di una coppa destinata, nell’uso comune presso i greci, appunto a compiere mescolanze (nello specifico, di acqua e vino durante i banchetti; qui si può pensare a un’operazione di metallurgia compiuta in un crogiolo, se è vero che la composizione dell’anima del mondo è assimilabile alla produzione di una sfera armillare da parte di un fabbro).

[3] La produzione di porzioni di anima – o di materiale psichico – riguarda tutte e tre le fasi dell’operazione demiurgica. E’ importante sottolineare che le prime sette porzioni ottenute non esauriscono affatto il composto: è dall’avanzo di questa prima divisione che in un secondo e in un terzo momento verranno tratte nuove parti d’anima, usate dal demiurgo per scopi ben precisi. Errata è pertanto l’affermazione fatta da A. Rivaud nella Notice a Platon, Timée-Critias, texte établi et traduit par A. Rivaud, Paris 1963, p. 43, secondo il quale «le mélange achevé, le Démiurge a divisé la composition en sept parties». Ad essere divisa in sette è solo una porzione del mélange, tant’è vero che Platone, evidentemente riferendosi a questa prima operazione, dice che il demiurgo iniziò a dividere così.

[4] Il greco ha l’aggettivo numerale cardinale μία all’inizio della frase, in posizione enfatica: per questo mi è parso di doverlo rendere in italiano.

[5] Così anche E. A. Moutsopoulos, La musica nell’opera di Platone, Milano 2001, p. 376.

[6] I due verbi che indicano quest’azione sono διαρεῖν e ἀφαρεῖν, che possiedono ambedue uno specifico significato in geometria: secondo le definizioni di Charles Mugler, il primo vale «partager une figure géométrique à une deux ou trois dimensions en deux ou plusieurs parties suivant certaines proportions»; il secondo «retrancher d’une grandeur géométrique une grandeur du même ordre». Cfr. C. Mugler, Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des Grecs, Paris 1958, s.v. Sinonimi di questi due verbi sono rispettivamente διανέμω (usato a 35 b 2) e ἀποτέμνω (che si trova a 36 a 2).

[7] F. M. Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, p. 66, scrive che l’anima su cui il demiurgo opera è come un «piece of malleable stuff, […] forming a long strip, which will presently be slit along its whole length […]. But first the strip is marked off into divisions, corresponding to the intervals of a musical scale». Questa descrizione non si accorda con il testo in esame, dove non si dice affatto che l’anima forma una ‘lunga striscia’, né, tanto meno, che gli intervalli sono ‘segnati’ su questa fantomatica striscia. Come detto, il demiurgo si trova davanti un ‘intero’ dal quale sottrae, spicca, toglie, taglia via (v. nota precedente) delle parti. Lo stesso Cornford, ibid., attribuisce a questa sezione del suo commento il titolo «Division of the World-Soul into harmonic intervals»: ripeto che, a mio avviso, qui non si ha a che fare con una divisione in intervalli armonici, ma con una divisione in porzioni, compiuta secondo intervalli armonici. Sottolinea questo punto importante, unico tra i commentatori, E. A. Moutsopoulos, op. cit., p. 377. Lo studioso tuttavia sembra identificare queste «masse ancora amorfe» con le masse dei pianeti (se capisco bene il testo: la formulazione non mi riesce del tutto chiara). Ora, che le masse di cui qui si parla non abbiano proprio nulla a che vedere con le masse dei pianeti mi pare fuor di dubbio. Le porzioni, come ho già detto, sono evidentemente staccate dall’impasto psichico (che è mescolanza di essere, identico e diverso, laddove i pianeti sono sì masse, derivanti però dalla mescolanza di aria, acqua, terra e fuoco). Le operazioni del demiurgo descritte in queste righe riguardano solo ed esclusivamente l’anima: chiamare in causa la questione delle distanze tra i corpi celesti e delle loro grandezze è fuorviante ed errato. Uno dei punti che vorrei qui dimostrare, tra l’altro, è appunto che partizione dell’impasto psichico e divisione dell’anima in strisce o stringhe (descritta più avanti, a 36 b 7 segg.) sono azioni completamente diverse, compiute dal demiurgo per fini completamente diversi. Credo che Platone si sia qui fatto guidare da considerazioni non astronomiche, bensì matematiche (o meglio, aritmetiche) e musicali.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 5-9