Lessico iconografico-simbolico – Numeri, cifre e figure geometriche: dieci

Numeri, cifre e figure geometriche: dieci (LS)

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… Il cervo dipinto di Santa Maria di Tahull posa le zampe su una bordura ornata di gocce a forma di mandorla che corrispondono alla fonte d’acqua viva alla quale esso s’abbevera: la prova è data dal fatto che la bocca dell’animale è come tagliata da questa bordura; ed è vero che esso sembra contemplare un fiore a nove petali, simbolo della vita futura, ma è anche vero che le mandorle simboliche sulle quali poggiano le sue zampe sono dieci, il numero che significa la totalità …

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Lessico iconografico-simbolico – Numeri, cifre e figure geometriche: otto

Numeri, cifre e figure geometriche: otto (LS)

Risultati immagini per battistero santa tecla

… Per esaltare il battistero a Otto nicchie, annesso alla basilica di Santa Tecla a Milano, sant’Ambrogio compose un breve carme destinato a essere trascritto sulle pareti dell’edificio: «Le otto nicchie di questa chiesa sono aperte per i sacri riti. Otto angoli hanno i suoi fonti come si addice ai suoi doni. Era opportuno fondare questo edificio per il santo battesimo su un numero sacro; è la salvezza che il popolo qui riceve» …

Lessico iconografico-simbolico – Numeri, cifre e figure geometriche: introduzione

Numeri, cifre e figure geometriche: introduzione (LS)

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… il simbolismo numerico dell’arte romanica è più ricco e più significativo di quello dell’arte gotica; questa, al confronto, rappresenta piuttosto un sistema di classificazione, legato a una scolastica arida e povera di linfa. L’arte gotica non fa che sviluppare dappertutto delle summae, degli «specchi», capaci, con l’abuso che fanno della simmetria, di soddisfare più la ragione che il cuore. Le cifre romaniche, che non vanno mai al di là del Dieci, qualche volta del Dodici, sono molto più vicine a Pitagora, a un approccio profondo, magico, dell’essenza delle cose…

Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (11)

Ancora più direttamente legato ai risultati della rinascita scientifica ottoniana è Adalboldo, maestro della fiorente scuola di Liegi e poi vescovo di Utrecht († 1026), autore di una serie di quaestiones di argomento matematico inviate a Gerberto dopo l’elezione papale, di scritti di argomento musicale e di un breve trattato Sul modo di calcolare il volume della sfera. L’importanza specifica del suo contributo intellettuale viene dal fatto che egli ha individuato nelle dottrine fisiche dei filosofi latini tardo-antichi la filigrana su cui tentare una sistemazione filosofica del mondo fisico e dare corpo all’aspirazione, dominante nei maestri della generazione precedente, di elaborare – in base ad una sintesi di sapienza cristiana e nozioni matematiche – una coerente cosmogonia teologica.

Già nell’opuscolo geometrico il tentativo di calcolare i rapporti tra diametro e circonferenza del mondo è suggerito ad Adalboldo da un’allusione letta nel commento di Macrobio al Somnium Scipionism. Ma il suo testo più interessante in questo senso è un approfondito commento alla cosmologia teologica del carme O qui perpetua, il nono del terzo libro della Consolatio di Boezio. Qui il pensiero dell’autore si può lanciare, sulla solida scorta delle competenze filosofico-scientifiche maturate nelle scuole del suo tempo, in una descrizione dell’ordine e delle proporzioni vigenti nel creato e nella natura umana, che è esplicitamente finalizzata a favorire una comprensione almeno prospettica di quella ratio che governa il mondo e che, nella sua eterna condizione di causa immutabile, si identifica con il Verbo divino. In questo modo egli può affermare, al seguito di Abbone, che, pur essendo esterno ad ogni determinazione, Dio è presente, come principio di tutte le determinazioni, in ogni luogo e in ogni tempo, rimanendo tutto in sé e insieme tutto in tutte le cose, in ciascuna di esse, dalle più grandi alle minime.

La cosmologia può così diventare il riflesso di una teologia filosofica, nel senso che conoscere il mondo e le sue leggi consente allo scienziato di conoscere l’immagine dell’indicibile essenza divina. La dialettica è lo strumento che consente all’intelligenza non soltanto di orientarsi nelle indagini sulla creazione ma anche di mantenere rigorosamente distinta la conoscenza dell’effetto, articolata in dimostrazioni e definizioni, dal presupposto intuitivo della natura della causa, che resta inconoscibile per la razionalità. Adalboldo procede dunque dal mondo verso Dio con un corretto andamento sillogistico, in base al quale è in grado di elaborare una delle prime, rigorose dimostrazioni (in ambito cristiano) dell’esistenza di Dio a partire dal creato: ogni forma è creata, ma nulla può essere creato e insieme superiore rispetto a tutte le cose create; ora, le cose formate sono tutte buone, quindi esiste il Bene che le fa essere buone, e che dovrà essere qualcosa di superiore a tutte le cose formate; dunque il Bene, che esiste necessariamente, è increato, ed è la fonte divina da cui derivano tutte le forme.

Perciò i teologi chiamano Dio «forma di tutte le cose», anche se in sé Dio, non essendo formato, non dovrebbe poter essere veramente chiamato forma. Questo abuso linguistico viene spiegato sulla base del fatto che gli uomini spesso attribuiscono ad una realtà una forma che essa ha in verità non in sé, ma soltanto per loro che ne fruiscono e che, tramite questa attribuzione di forma possono riconoscerla: come, per esempio, quando diciamo che una cosa, che in sé è un pezzo di legno, ha (per noi soltanto) la forma di una tavola. Così diciamo che il Sommo Bene è una forma, solo per poter comprendere in quale modo esso abbia formato le cose, e, formandole, si sia reso a noi intelligibile.

Autore: Giulio d’Onofrio
Pubblicazione:
Storia della Teologia nel Medioevo. I: I princìpi
Editore
: Piemme
Luogo: Casale Monferrato
Anno: 1996
Pagine:  379-380
Vedi anche:
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (1)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (2)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (3)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (4)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (5)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (6)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (7)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (8)
Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (9)

Cosmo-teologie platonizzanti in epoca tardo-carolingia ed ottoniana (10)

Rabano Mauro – La formazione dei chierici (III, 24-25)

La musica è la disciplina che tratta i numeri esprimenti i rapporti riscontrabili nei suoni, come il doppio, il triplo, il quadruplo e simili, detti in relazione a qualche cosa. Quest’arte è così nobile e utile, che chi ne è privo non può svolgere adeguatamente un incarico ecclesiastico. La pronuncia decorosa delle letture e la soave modulazione dei salmi in chiesa è regolata dalla conoscenza di questa disciplina, e per suo mezzo non solo leggiamo e cantiamo i salmi nella chiesa, ma anche compiamo in modo appropriato ogni servizio divino.

L’arte musicale permea tutti gli atti della nostra vita in questo modo. Prima di tutto se osserviamo i comandamenti del Creatore e osserviamo con mente pura le regole da lui stabilite. Tutte le nostre espressioni o le emozioni interne, accompagnate dal pulsare delle vene, si dimostrano collegate alle virtù tramite ritmi musicali armonici. Certo, la musica consiste nel saper ben modulare, e se noi pratichiamo un buon comportamento, dimostriamo di essere sempre associati a quella disciplina, mentre quando compiamo azioni inique siamo lontani dalla musica.

Anche il cielo e la terra, e tutti gli eventi che in essi si compiono per disposizione superiore, non sono estranei alle leggi della musica, dal momento che Pitagora attesta che questo mondo fu fondato tramite la musica e può essere governato per mezzo suo. Essa è fortemente compenetrata con la stessa religione cristiana, e da ciò deriva che l’ignoranza di qualche regola musicale precluda e nasconda non pochi argomenti.

Infatti qualcuno, partendo dalla differenza fra il salterio e la cetra, non senza garbo spiegò il senso di alcune figure. Non senza opportunità i dotti discutono se il salterio dalle dieci corde (Sal 33,2; 91,4) abbia un tale numero di tendini in forza di una qualche legge musicale, o, in caso contrario, per ciò stesso quel numero vada inteso in modo più sacrale: o a motivo del decalogo della Legge (il cui numero, se si indaga oltre, non si può riferire se non al Creatore e alla creatura), oppure per il numero dieci in se stesso, di cui s’è trattato prima.

Il famoso numero di quarantasei anni, relativo alla costruzione del Tempio e ricordato nel Vangelo (Gv 2,20), echeggia un non so che di musicale e, messo in rapporto alla struttura corporea del Signore, a causa della quale fu fatto il riferimento al Tempio, costringe alcuni eretici ad ammettere che il Figlio di Dio rivestì un corpo non falso, ma vero e umano. E così troviamo sia il numero che la musica in posizione onorevole in parecchi passi delle sante Scritture.

Non bisogna dar retta agli errori superstiziosi dei gentili, che favoleggiarono le nove Muse figlie di Giove e di Memoria. Li confuta Varrone, del quale non so se possa esserci presso di loro alcun più dotto o più accurato indagatore di tali argomenti. Egli dice che non so quale città – non ricordo il nome – appaltò a tre scultori tre statue di Muse ciascuno, per collocarle come dono nel tempio di Apollo. Sarebbero state scelte per l’acquisto le sculture di quell’artista che avesse prodotto le più belle. Successe che tutti quegli scultori raggiunsero nelle loro opere uguale bellezza, e tutte nove piacquero alla città, che decise di comperarle tutte per dedicarle nel tempio di Apollo. In seguito, secondo Varrone, il poeta Esiodo assegnò loro i nomi. Non dunque Giove generò le nove Muse, ma tre artefici le crearono, tre ciascuno. E quella città ne aveva ordinato tre non per averle viste in sogno, o perché tante ne fossero apparse agli occhi di qualcuno di loro, ma perché era facile riconoscere la triplice natura di ogni suono di cui sono composte le melodie. Infatti [il suono] è emesso con la voce, come fanno quelli che cantano con la gola senza strumento, o col soffio, come quello delle trombe e dei flauti, o dando un impulso, come nelle cetre, nei timpani e in qualsiasi strumento sonoro a percussione.

Ma, che le cose stiano o meno come ha riferito Varrone, noi non dobbiamo evitare la musica a motivo delle superstizioni profane, se ne possiamo ricavare qualcosa di utile per capire le sante Scritture. E nemmeno dobbiamo cadere nelle loro frivolezze teatrali, se deduciamo dalle cetre e dagli strumenti qualche elemento valido per cogliere realtà spirituali. Infatti non abbiamo dovuto trascurare l’apprendimento delle lettere perché dicono che il loro dio è Mercurio. Né dobbiamo fuggire la giustizia e la virtù perché loro hanno dedicato templi alla Giustizia e alla Virtù, e hanno preferito adorare nelle pietre sentimenti che bisogna portare nel cuore. Anzi, chiunque è vero e buon cristiano, dovunque trova la verità, deve comprendere che essa appartiene al suo Signore.

 

Rimane l’astronomia, degno argomento per persone religiose, come ha detto un tale, e grande tormento per i ricercatori minuziosi. Se la indaghiamo con mente pura e moderata, essa riempie anche i nostri sentimenti con un grande splendore, come dicono anche gli antichi. Quanto vale infatti ravvicinarsi ai cieli con la mente ed esaminare tutta quella sublime macchina con una ricerca razionale, cogliendo almeno in parte con la raffinatezza speculativa della mente ciò che arcani di tanta grandezza hanno velato? L’universo, come alcuni affermano, si muove raccolto in sferica rotondità, cosicché il cerchio della sua orbita include le diverse forme delle cose. Seneca, ragionando in sintonia con i filosofi, compose sull’argomento un libro che si intitola La forma dell’universo.

Pertanto è chiamata astronomia la legge degli astri – e di qui deriva a noi la parola – perché non possono in alcun modo stare o muoversi diversamente da come è stato stabilito dal loro Creatore, se non interviene a cambiarli la volontà divina compiendo un miracolo. Così, ad esempio, si legge che Giosuè comandò al Sole di star fermo sopra Gabaon (Gs 10,12), che ai tempi di re Ezechia il Sole tornò indietro di dieci gradi (2Re 20,11), che durante la Passione di Cristo Signore fu oscurato per tre ore (Lc 23,44-45), e simili. E si chiamano miracoli proprio perché accadono con nostra meraviglia, contro il corso consueto delle cose.

Come dicono gli astronomi, le stelle fisse nel cielo ne seguono il moto, mentre i pianeti, ossia gli astri vaganti, hanno movimenti propri, e tuttavia compiono i loro percorsi secondo una regola ben definita. Sicché l’astronomia, come già s’è detto, è la disciplina che contempla tutti i percorsi e le figure dei corpi celesti, e passa in rassegna con indagine razionale le relazioni delle stelle tra loro e con la Terra.

Vi è poi una certa differenza tra l’astronomia e l’astrologia, sebbene appartengano entrambe a una sola disciplina. Infatti l’astronomia comprende il volgersi del cielo, il sorgere, il tramontare, i movimenti degli astri e il motivo dei loro nomi. L’astrologia invece è in parte naturale, in parte superstiziosa. È naturale quando si occupa dei corsi del Sole, della Luna o delle stelle: questioni ben precise relative ai tempi. È invece superstiziosa quella perseguita dai quei matematici che traggono vaticini dalle stelle e inoltre abbinano le dodici costellazioni [dello Zodiaco] alle singole parti dell’anima e del corpo e cercano di predire, mediante il percorso degli astri, le nascite e i costumi degli uomini.

Quella parte dell’astrologia che viene praticata come ricerca naturale ed esplora con prudenza i corsi del Sole, della Luna e delle stelle, e le precise distinzioni dei tempi, deve essere appresa dal clero del Signore con studio solerte, affinché, mediante induzioni sicure delle regole ed esatte e veraci valutazioni degli argomenti, non solo indaghi con verità i passati corsi degli anni, ma anche sappia ragionare con rigore sui tempi futuri, in modo da poter stabilire l’inizio delle festività pasquali e le scadenze precise di tutte le solennità e celebrazioni che è tenuto a rispettare, ed essere in grado di indicarle debitamente al popolo perché le festeggi.

Autore: Rabano Mauro
Traduttore: Luigi Samarati
Pubblicazione:
La formazione dei chierici (De institutione clericorum)
Editore: Città Nuova (Fonti Medievali, 25)
Luogo: Roma
Anno: 2002
Pagine: 203-206
Vedi anche:
Rabano Mauro – La formazione dei chierici (III, 17)

Rabano Mauro – La formazione dei chierici (III, 18)
Rabano Mauro – La formazione dei chierici (III, 19-20)
Rabano Mauro – La formazione dei chierici (III, 21-23)

La Musica e le Arti Liberali nel IX secolo: origini speculative del sapere teorico-musicale occidentale (1)

Più di mille anni ci separano dal secolo della Rinascenza carolingia, eppure è proprio a quell’epoca che dobbiamo ritornare per veder germogliare i principi di una teoria musicale che ancora si pone a fondamento della musica occidentale, una teoria che nasce dall’esigenza di organizzare e strutturare il canto sacro cristiano e che affonda le sue radici nella scienza greca, trasmessa al medioevo attraverso alcune opere della tarda latinità. Nei trattati di teoria musicale composti nel IX secolo si intrecciano infatti per la prima volta la pratica di una musica da sempre trasmessa oralmente e gli elementi di una teoria armonica, quella greca, inserita nel quadro speculativo neoplatonico trasmesso dal De institutione musica di Boezio, dal commentario di Calcidio al Timeo, dal commentario di Macrobio al Somnium Scipionis di Cicerone, dal De nuptiis Mercurii et Philologiae di Marziano Capella. Nei quattro secoli che dividono la stesura di questi lavori dalla loro riscoperta (dalla fine del V secolo agli inizi del IX secolo), la continuità della trasmissione della teoria musicale antica, pur senza mai essere consapevolmente raccolta dai cantores, fu invero assicurata, anche se in maniera assai succinta ed elementare, dai capitoli dedicati alla musica nelle Institutiones di Cassiodoro e nelle Etymologiae di Isidoro, assai letti nel contesto dell’insegnamento delle arti liberali. Ed è proprio in tale contesto che prende vita la riflessione teorico-musicale dei musici, i quali seppero raccogliere la scienza matematico-filosofica antica ed accostarla al repertorio del canto liturgico, a sua volta analizzato e classificato secondo i criteri musicali proposti dalla teoria bizantina degli otto “modi”, descritta con l’aiuto della terminologia del grande sistema perfetto boeziano.

1. Il posto della musica nella storia delle arti liberali

La tradizione degli studi liberali ha radici antiche. Fu infatti nel IV secolo avanti Cristo che due grandi educatori, Isocrate e Platone, disputandosi la direzione spirituale della gioventù ateniese, plasmarono di fatto il percorso disciplinare che rimase per secoli alla base della formazione culturale “classica”. Da una parte, Isocrate guardò agli studi letterari come preparatori alle discipline superiori dell’eloquenza e della dialettica, intesa come l’arte della discussione; dall’altra, Platone riconobbe il valore propedeutico delle scienze matematiche ai fini della formazione di uno spirito filosofico.
Ma, fra le matematiche, fu alla musica che egli attribuì altissima considerazione, poiché essa è la scienza dei rapporti, chiave d’accesso alle leggi che reggono l’universo e strumento di comprensione della sua armonia; un’armonia che si esplicita in consonanze perfette, come quelle che, nel mito di Er, intonano le Sirene preposte ad ognuno degli otto fusaioli del fuso di Ananke, rappresentazione della Necessità, che governa i moti circolari dei cieli delle stelle fisse e dei sette pianeti, Saturno, Giove, Marte, Mercurio, Venere, Sole, Luna:

Il fuso si svolgeva sulle ginocchia di Ananke. In alto, sopra ciascun cerchio, incedeva, seguendone il moto, una Sirena, ed emetteva una sola nota in un unico tono; e da tutte e otto derivava un armonioso concento.

Repubblica X, 616c-617d

Per Platone, inoltre, la ragione stessa dell’udibilità del suono è aiutare l’anima a comprendere l’armonia che la governa:

L’armonia, poi, avendo movimenti affini ai cicli dell’anima che sono in noi, a chi si giovi con intelligenza delle Muse non sembrerà data per un piacere irrazionale […] ma come alleata per ridurre all’ordine e all’accordo con se stesso il ciclo dell’anima che in noi si fosse fatto discordante.

Timeo, 47d-e

Studi letterari e formazione matematica, che comprendeva anche lo studio della scienza musicale, apparvero pertanto dall’inizio del IV secolo come costituenti quella cultura di base, che, seguendo l’istruzione elementare, doveva introdurre il giovane all’insegnamento più avanzato del retore e del filosofo. In epoca ellenistica, come testimoniano, fra gli altri, Varrone, Cicerone e Filone di Alessandria, questo percorso educativo, già definito nella sostanza, si strutturò nel programma schematico5 che, raccolto da Macrobio e Marziano Capella, ultimi autori pagani della tarda latinità, si trasmise poi fino al medioevo cristiano, quando la volontà di una profonda e completa comprensione del Testo Sacro rese gli studiosi consapevoli della necessità di un aggancio con l’unico patrimonio culturale che era loro proprio, quello classico greco e latino. D’altra parte, erano gli stessi libri Sapienziali della Bibbia a dare piena legittimazione al sapere:

Egli mi ha concesso la conoscenza infallibile delle cose, per comprendere la struttura del mondo e la forza degli elementi […] Tutto ciò che è nascosto e ciò che è palese io lo so, poiché mi ha istruito la sapienza, artefice di tutte le cose.

Sap., 7, 17-21.

Così, nel De Ordine Agostino, uomo formatosi attraverso lo studio dei classici e la lettura dei “libri dei platonici”, per il quale dunque il cammino di fede è già ricerca filosofica, poté scrivere che scopo della filosofia è la ricerca della Verità e del Bene e la contemplazione di Dio; ma la filosofia è una conquista che l’uomo raggiunge gradualmente, disciplinando la sua razionalità attraverso l’eruditio, nella pratica delle sette arti liberali, che fungono da propedeutica, da exercitatio animi. Da qui, il progetto dei Disciplinarum Libri, fra i quali il De musica, in cui troviamo scritto

Musica est scientia bene modulandi. Sed […] modulari a modo esse dictum, cum in omnibus bene factis modus servandus sit.

De musica, I 2, 2,

Scienza del modulare bene, cioè del valutare razionalmente la giusta misura (poiché modulare deriva da modus, ovvero misura), la musica analizza il ritmo della parola come un vero e proprio trattato di metrica per i primi cinque Libri, ma poi, nel VI, diviene studio del numerus, inteso sia come ente matematico sia come numero ideale, modello della Creazione e quindi Idea di Dio, e, muovendo dalle “tracce sensibili” giunge infine “dove è spoglia da tutto ciò che è corporeo” per contemplare così l’armonia di un mondo neoplatonicamente unificato dal primo principio. Propedeutica alla filosofia o filosofia essa stessa?

In Agostino il confine tra lo studio preparatorio e il pensiero teoretico è labile, confuso, e risente di una tendenza già evidente nei primi Padri a integrare le artes liberales alla cultura filosofica, in quanto sapere puramente teorico, distinto da una sapienza superiore, la ragione illuminata dalla fede e guidata da Dio stesso, unica via all’intellezione delle Sacre Scritture.

Così in Boezio, il quale riprendendo circa un secolo più tardi l’idea agostiniana della cultura liberale come supporto teoretico indispensabile nelle discussioni teologiche e come strumento per l’interpretazione della Sacra Pagina, nel proemio al De institutione arithmetica tracciò il quadruplice cammino delle matematiche che, indagando le res quae vere sunt, ossia le essentiae, toccano il cumulum perfectionis, cioè la vera e propria sapientia filosofica.
La musica, in quanto disciplina matematica, appartiene pertanto alla teoretica, pur avendo notevoli implicazioni etiche (e confluendo così parzialmente nella prima sezione della philosophia practica). Essa investiga l’armonia cosmica, seguendo l’insegnamento di Platone; sonda l’equilibrata relazione tra le parti dell’anima e tra l’anima e il corpo; analizza le proporzioni che governano le consonanze tra i suoni e, attraverso l’analisi matematica giunge infine a comprendere che il numero è principio di tutte le cose e che ordina l’universo intero.

Studio astratto dei suoni che si relazionano tra loro seguendo le proprietà aritmetiche dei rapporti e delle proporzioni, la musica è collocata nello stesso quadro epistemologico di Boezio anche da Cassiodoro, per il quale tuttavia essa è soprattutto un’arte dai singolari poteri etico-catartici, della quale Davide si servì per cacciare gli spiriti maligni da Saul e riportare in lui la calma e la pace; è l’espressione dell’intima armonia dell’anima, sempre presente quando l’uomo segue la strada del bene, assente quando cede all’errore e al male; è infine lo strumento del quale Dio si servì nell’opera della Creazione, estrinsecazione della struttura armoniosa del cosmo.
Se dunque la musica si pone al principio stesso dell’ordinamento del mondo, l’osservanza delle sue regole contribuisce alla perfezione della vita cristiana. La felice fusione di temi neoplatonici e di immagini bibliche fece la fortuna del capitolo de musica delle Institutiones, spesso citato e parafrasato, a volte anche copiato in forma autonoma dall’intera opera, come accadde fino al IX secolo anche per l’analogo capitolo presente nelle Etymologiae di Isidoro, assai breve e decisamente meno teorico, ma considerato dai suoi lettori validissimo supporto didattico per la sua breve e chiara presentazione della musica vocale e strumentale.

I lavori di Isidoro e Cassiodoro contengono pressoché tutta la conoscenza sulle arti liberali conservata nell’Alto Medioevo, tramandata spesso in modo non sistematico, a volte solo come dettaglio erudito, come avvenne in molti rappresentanti della cultura britannica, fortemente influenzata da movimenti mistici e spirituali che rigettarono la tentazione delle dottrine profane, piene di errori e di menzogne, strumento diabolico per distogliere il cristiano dal cammino verso la salvezza, come lo stesso Beda le definì.

Autore: Anna Morelli
Periodico: Esercizi Filosofici
Anno: 2002
Numero: 6
Pagine:
 189-192

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L’evoluzione del metodo nella matematica greca (1)

Sulla matematica greca, nell’arco temporale che va dal sesto alla fine del quarto secolo a.C., la ricerca storica ci presenta una vasta produzione di risultati che individuano una radicale diversità tra il metodo della matematica più antica, in particolare quello della scuola pitagorica e il metodo deduttivo della matematica razionale. Gli antichi pitagorici hanno costruito la loro conoscenza matematica sulla percezione e sull’induzione, come appare dalle testimonianze sia pur tarde ma autorevoli sulla loro produzione aritmetica e come lasciano intendere le ricostruzioni molto convincenti sullo sviluppo della teoria musicale, che sembra essere il paradigma metodologico di tutta la loro produzione. Il mutamento tra l’orientamento pitagorico e quello razionale si manifesta già a partire dalla seconda metà del quinto secolo a.C., a cominciare da Ippocrate di Chio di cui conosciamo attraverso Simplicio le famose quadrature delle lunule del cerchio da lui studiate con l’uso preminente di metodi fondati sulla dimostrazione razionale. Un altro significativo esempio è quello di Eudosso di Cnido che nella prima metà del quarto secolo a.C. ha generalizzato a grandezze qualsiasi la teoria dei rapporti e delle proporzioni, che i pitagorici limitavano al caso dei numeri naturali, teoria che doveva rendere possibile la trattazione della similitudine tra figure nella geometria razionale. L’orientamento razionale che si andava consolidando si afferma poi definitivamente nella trattazione sistematica della geometria e dell’aritmetica che si presenta alla fine del quarto secolo con gli Elementi di Euclide.

Di fronte ad una trasformazione così radicale dell’orientamento metodologico nella matematica greca che ha portato ad uno spostamento definitivo dell’autorità dai sensi alla ragione, il problema che si pone è di cercare di spiegarne l’origine. La tradizione antica racconta della scoperta dell’incommensurabilità e della conseguente crisi in seno alla scuola pitagorica; nondimeno anche se, come tutto lascia intendere, questa è stata la causa di quel profondo mutamento di orientamento rimane da spiegare come, a partire da questa scoperta, siano giunte in seno al pitagorismo quelle componenti di pensiero capaci di rifondare l’intero assetto della matematica. Su questo interrogativo non viene in aiuto alcuna tradizione, ma un esame storico approfondito può aiutarci a prospettare delle risposte ragionevoli.

La scuola pitagorica antica ha impiegato in matematica e in modo particolare in aritmetica, un metodo che ricalca quello che ha maturato in altri campi e soprattutto nello studio delle armonie musicali. La tradizione antica e la successiva elaborazione della dottrina (come quella neopitagorica), testimoniano del fatto che la spinta originaria essa l’abbia ricevuta dalla musica. Una vasta ricostruzione dell’antica teoria musicale pitagorica è stata elaborata da Arpád Szabó sulla base di una analisi filologica del lessico musicale, che ha permesso di risalire ai concetti attraverso il recupero dei significati originari di numerosi termini fondamentali, che scuole posteriori, in particolare quella di Aristosseno, avevano alterato. Lo scopo di questa ricostruzione è manifestamente storico, ma anche teoretico: la teoria musicale in tal modo ricostruita, è in grado di spiegare la nascita di importanti idee matematiche dei pitagorici, come la teoria pre-eudossiana dei rapporti e delle proporzioni che viene interpretata come un naturale correlato della musica, mentre si rende possibile la decifrazione dei concetti di rapporto composto, rapporto doppio, di differenza e di ordinamento di rapporti che prescindendo da quella ricostruzione sarebbero degli enigmi concettuali e linguistici. Di questa vasta teoria considereremo alcuni concetti fondamentali che hanno attinenza con quell’unità metodologica che cerchiamo di delineare.

L’origine della teoria risiede negli esperimenti acustici con i quali Pitagora avrebbe scoperto le consonanze principali, esperimenti che, come racconta Gaudentius, impiegavano il canone o monocordo, uno strumento costituito da un regolo la cui lunghezza veniva suddivisa in dodici parti uguali e lungo il quale veniva tesa una corda che era destinata a vibrare. Porfirio, come rileva A. Szabó, ci racconta che tra la corda e il regolo era inserito un ponticello (hypagogheus) che, opportunamente posizionato, separava l’intera corda in due parti consentendo di far vibrare una sola parte della corda e di lasciar ferma l’altra. Pitagora avrebbe trovato su questo strumento le tre più importanti consonanze note ai greci, le cosiddette consonanze o accordi di quarta, quinta e ottava, che sono ciascuna una coppia di suoni particolarmente graditi all’orecchio, che si ottengono facendo vibrare in un primo momento l’intero monocordo e in un secondo momento una parte di questo corrispondente a lunghezze in certo rapporto numerico con la lunghezza dell’intera corda: tre parti dell’intero per ottenere la consonanza di quarta, due parti per la quinta e la metà per l’ottava.

Si riconoscevano in tal modo tre rapporti numerici, rispettivamente 4 : 3 = 12 : 9 per la quarta, 3 : 2 = 12 : 8 per la quinta e 2 : 1 = 12 : 6 per l’ottava. Si vede allora che la suddivisione del canone in dodicesimi, di cui parla Gaudentius, è la più comoda corrispondendo al minimo multiplo comune delle misure 2, 3, 4.

Le lunghezze delle corde di una certa consonanza determinavano sul canone un ben preciso intervallo, costituito dalla parte del monocordo che nel secondo momento dell’esperimento rimaneva ferma; questo intervallo, che si chiamava diastema, era individuato dai suoi estremi o termini che si chiamavano horoi rappresentati da due numeri naturali che si potevano leggere sul canone. Così nel caso di una consonanza di quarta, quando veniva fatta vibrare l’intera corda, il ponticello sul canone era posizionato alla sua estremità (cioè sul numero 12) e si trovava sul numero 9 quando la corda vibrava una seconda volta. Le due posizioni del ponticello individuavano i termini, gli horoi 9 e 12 del diastema corrispondente, ma al tempo stesso individuavano anche le lunghezze delle corde della consonanza, e perciò anche i termini del loro rapporto cioè del corrispondente logos 12 : 9.

Questa corrispondenza tra diastema e logos suggerita dalla sperimentazione sul Canone, ha generato l’equivalenza tra i due vocaboli, che sono divenuti sinonimi, finendo per indicare concetti equivalenti nella terminologia dell’armonia pitagorica. Questo trova conferma nella testimonianza di Porfirio, che nel suo Commento alla teoria dell’armonia di Tolomeo scrive: “Molti kanonikoi e Pitagorici dicono intervalli (diastemata) invece di rapporti numerici (logoi)”. Un’altra conferma viene anche dalla Sectio canonis, opera di armonia di autore sconosciuto e fonte tra le più autorevoli della teoria musicale pitagorica, dove il vocabolo diastema è usato coerentemente per significare logos.

Ma il fatto che un vocabolo che significava ordinariamente “distanza” o “intervallo” sia divenuto sinonimo di “rapporto numerico” è un fenomeno che deve aver richiesto un lungo tempo per attuarsi, come si può ragionevolmente supporre.

Autore: Giacomo Michelacci
Periodico: Esercizi Filosofici
Anno: 2002
Numero: 6
Pagine: 180-182