La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (5)

L’inserzione delle medie armonica e aritmetica nei primi intervalli dà origine a nuovi intervalli, tutti di 3/2, 4/3, 9/8: ebbene, ciascuno di questi rapporti (λόγοι) ha un preciso significato in campo musicale. 3/2 (ἡμιόλιος λόγος) indica infatti il rapporto dell’intervallo detto dai greci διὰ πέντε: in termini moderni è il rapporto dell’intervallo di quinta, ossia la distanza tra le note do e sol (pari a cinque, contando anche le note di partenza e arrivo: do-re-mi-fa-sol); 4/3 (ἐπίτριτος λόγος) è il rapporto dell’intervallo detto διὰ τεσσάρων: cioè il nostro intervallo di quarta, ossia la distanza tra do e fa (pari a quattro note); 9/8 (ἐπόγδοος λόγος), infine, è il rapporto dell’intervallo detto τονιαῖον: corrisponde al rapporto del nostro intervallo di tono, ossia ciascuno degli intervalli do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si. Nella terza operazione poi è introdotto il rapporto di un nuovo intervallo: 256/243. Questo, chiamato in greco λεῖμμα, corrisponde a un dipresso al nostro semitono, cioè alla distanza fra le note mi-fa e si-do[1].

Ancora: l’intervallo di quarta, espresso dal rapporto 4/3, è, in termini moderni, la distanza tra la note do e fa; e questo intervallo è costituito da un tono (do-re), un tono (re-mi) e un semitono (mi-fa). Matematicamente si avrà allora: 9/8·9/8·256/243 = (9/8)2·256/243 = 4/3. L’intervallo di quinta, espresso dal rapporto 3/2 è, in termini moderni, la distanza tra le note do e sol; quest’intervallo è costituito da un tono (do-re), un tono (re-mi), un semitono (mi-fa) e un tono (fa-sol). Matematicamente: 9/8·9/8·256/243·9/8 = (9/8)3·256/243 = 3/2. Da qui si capisce perché i greci definivano il tono come la distanza tra una quarta e una quinta (matematicamente: 4/3·9/8 = 3/2 e 3/2:9/8 = 4/3).

Inoltre: l’intervallo che noi chiamiamo ottava e i greci διὰ πασῶν deriva dall’unione dei due intervalli di quarta e quinta[2]. Cioè: la distanza tra do e do[3] si copre aggiungendo a una quarta (do-re-mi-fa) una quinta (fa-sol-la-si-do). Il risvolto matematico è interessante: 4/3·3/2 = 2. 2, cioè 2/1, è il rapporto che esprime l’intervallo di ottava.

Esiste un ultimo intervallo da esaminare: è l’intervallo di dodicesima, in greco διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. Come traspare dal nome greco, esso deriva dall’unione di un’ottava e una quinta: corrisponde, in termini moderni, all’intervallo do-sol. Matematicamente: 2/1·3/2 = 3.

Torniamo a considerare, alla luce di tutto questo, i primi sette numeri forniti da Platone: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. L’intervallo 1 ~ 27 comprende quattro ottave (il cui rapporto è 2: 1 ~ 2, 2 ~ 4, 4 ~ 8 e 8 ~ 16), una quinta (16/24, cioè 2/3) e un tono (24/27, cioè 8/9). Tradotto in termini musicali, si ha:

1      2       3     4      9     8      27

mi’’’ mi’’    la’     mi   re    mi    sol

E, in forma di lambda:

1 mi’’’

2 mi’’      3 la

4 mi                       9 re

8 mi                                    27 sol

Da quest’ultima scrittura risulta subito evidente che le due serie, dei pari e dei dispari, procedono secondo criteri diversi: la prima dà luogo a una successione di ottave (rapporto di 2 a 1: gli intervalli doppi di cui all’inizio); la seconda a una successione di dodicesime (rapporto di 3 a 1: gli intervalli tripli).

Si tratta ora di vedere come la situazione muti con il riempimento degli intervalli di 4/3: quali aggiunte portino cioè alle successioni di ottave e dodicesime le nuove note individuate tramite l’operazione di riempimento.

Conviene richiamare subito l’attenzione sul fatto che gli intervalli di 4/3 sono distribuiti nelle due serie in modo disuguale: in quella dei pari ce ne sono sei, mentre in quella dei dispari sono la metà, tre. Questa apparente stortura ha imbarazzato lettori antichi e moderni, molti dei quali hanno ritenuto di dovervi porre rimedio con vari stratagemmi. Per conto mio, non credo sia lecito fare violenza al testo, in nessun modo. Ecco allora il risultato che si ottiene seguendo scrupolosamente le prescrizioni platoniche:

1       9/8     81/64      4/3      3/2     27/16     243/128     2

mi’’’   re’’’   do’’’       si’’       la’’     sol’’         fa’’           mi’’

2       9/4     81/32     8/3       3        27/8      243/64       4

mi’’    re’’    do’’        si        la      sol       fa            mi’

4       9/2     81/16     16/3      6       27/4      243/32       8

mi     re     do         si         la      sol         fa             mi

clip_image004clip_image005clip_image006clip_image005[1]clip_image007clip_image005[2]clip_image007[1]

    9/8          9/8            256/243              9/8            9/8             9/8         256/243

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                            3/2                                                        4/3

2/1

In questo caso, essendo 2 il fattore di moltiplicazione, l’intervallo tra il primo e l’ultimo termine di ogni riga e fra ciascun termine e il suo omologo nella riga successiva è pari a un’ottava. Il riempimento, dal canto suo, ha prodotto l’individuazione di ciascuna delle note di ogni ottava: la regolarità della serie dei pari è cioè confermata e anzi, per così dire, arricchita. Forse non è un caso, poi, che ottave costituite da una cosiffatta successione discendente di toni e semitoni corrispondano alla scala detta ‘dorica’, particolarmente pregiata da Platone per motivi etici[4].

Quanto alla serie dei dispari, il riempimento produce delle conseguenze diverse, che possono apparire deludenti. Si ha infatti:

1      3/2      27/16     243/128      2         3

mi’’’  la’’      sol’’       fa’’            mi’’      la

3      9/2      81/16     729/128      6         9

la    re       do        sib             la        re

9     27/2     243/16    2187/128    18        27

re    sol       fa          mib            re        sol

    3/2    9/8      9/8         256/243     3/2

                     2/1                        3/2

                  3/1

Questa volta, essendo 3 il fattore di moltiplicazione, l’intervallo tra il primo e l’ultimo termine di ogni riga, come pure quello fra ciascun termine e il suo omologo nella riga successiva, è pari a una dodicesima.


[1] I nomi che ho menzionato entrarono nell’uso in un’epoca relativamente tarda, ma sono quelli che poi si imposero nella teoria musicale greca: per questo li ho ricordati. Platone si riferisce agli intervalli attraverso un numero, che indica il rapporto tra la lunghezza delle corde pizzicate per produrre i due suoni la cui ‘distanza’ è l’intervallo stesso. Ad esempio, chiamando l’intervallo a noi noto come ‘quarta’ ἐπίτριτος, cioè ‘di 4/3’, il greco intende che per produrre quell’intervallo è necessario pizzicare successivamente due corde la cui lunghezza ha lo stesso rapporto che intercorre tra 4 e 3. Siccome questi numeri frazionari, per quanto scomodi da maneggiare, hanno l’importante significato musicale di cui si è detto, è bene conservarli. Faccio quest’osservazione (che trovo anche in Tiby, art. cit., p. 52 nota 12) perché fin dall’antichità, appunto per evitare le frazioni, si è fatto ricorso a dei multipli. Plutarco, An. Procr. 1020 c, ci informa che Crantore (l’uso risale quindi al primo commentatore del Timeo) prendeva come primo termine della serie il 384, trovandosi poi a dover moltiplicare per questo fattore tutti gli altri numeri: per evitare di lavorare con le frazioni, si finiva così per avere a che fare con le decine di migliaia, per giunta con lo svantaggio di perdere completamente «la percezione dei rapporti e il senso di corrispondenza che esiste tra le varie righe» (Tiby, ibid.). L’esempio di Crantore è stato seguito anche da alcuni moderni, come Boechk e Rivaud; dal canto mio, credo che le considerazioni appena fatte stiano con forza contro quest’uso.

[2] Che l’ottava fosse concepita dai greci come congiunzione di quarta e quinta (o, il che è lo stesso, come congiunzione di due tetracordi [= quarte] separati da un tono) si rispecchia nell’interessante nome che originariamente le fu attribuito: a(rmoni¿a, cioè, appunto, ‘congiunzione’. Cfr. Szabó, op. cit., p. 121, con rinvio alla letteratura. Per tutte le questioni di teoria musicale qui discusse si vedano in particolare M. L. West, Ancient Greek Music, Oxford 1992, e J. Landels, Music in Ancient Greece and Rome, London and New York 1999. Una raccolta di testi antichi su questioni musicali provvista di commento è Greek Musical Writings, ed. by A. Barker, Vol. I: The Musician and His Art, Cambridge 1984; vol. II: Harmonic and Acoustic Theory, Cambridge 1989 (quest’opera tuttavia ha il difetto di non riportare l’originale Greco dei testi discussi).

[3] La scrittura do’ indica, rispetto a do, che la prima nota appartiene a un’ottava superiore (più acuta): il numero degli apici posto dopo il nome delle note si riferisce dunque alle loro altezze reciproche. Uguale scopo ha il maiuscoletto nel caso della nota sol.

[4]Cfr. Resp. 399 a-b. Nel Lachete, a 188 d, la scala dorica è esaltata in quanto μόνη Ἑλλενικὴ ἁρμονία. Da notare anche questo: la stessa scala, considerata in senso ascendente, presenta la successione di toni e semitoni della nostra scala maggiore.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 20-24
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