La struttura numerica dell’anima del mondo [Timeo 35 B 4-36 B 6] (3)

L’anima è stata in precedenza divisa in sette porzioni (μόρια) secondo rapporti ben precisi (le due progressioni): in tal modo è stato introdotto il primo elemento di ordine nella massa altrimenti informe prodotta dalla mescolanza di essere, identico e diverso. Le sette porzioni si trovano però separate l’una dall’altra, e il “vuoto” che le separa deve essere eliminato, pena la mancanza di coesione interna dell’anima stessa. Di qui la necessità di costituire dei legami capaci di connettere, in modo durevole e ovviamente ordinato, quelle parti ancora irrelate. I legami che servono a questo scopo sono di tipo matematico: sono, come i legami che tengono assieme il corpo del mondo (cfr. 31 b – 32 c), delle proporzioni (ἀναλογίαι)[1]. Le quali per Platone non costituiscono un semplice rapporto matematico, ma appunto un potente tipo di legame (δεσμός, σύνδεσις); anzi, il tipo di legame che αὐτὸν καὶ τὰ συνδούμενα ὅτι μάλιστα ἓν ποιεῖ (31 c 2-3)[2]. Di esse dunque il demiurgo si servirà per rendere compatte al massimo grado le parti d’anima divise.

Negli intervalli che separano queste ultime egli pone in mezzo altre porzioni d’anima, staccandole dal composto avanzato dopo la prima partizione (μοίρας ἔτι ἐκεῖθεν ἀποτέμνων)[3]. Le nuove parti sono appunto scelte ἀνὰ λόγον (37 a 4), cioè secondo criteri di proporzione. Il risultato è che in ogni intervallo vengono a essere prodotte due ‘medie’ (μεσότητες)[4], così definite: una supera l’estremo minore ed è superata dall’estremo maggiore di un’uguale frazione di ciascuno degli estremi stessi; l’altra supera l’estremo minore ed è superata dal maggiore della stessa quantità.

Benché Platone non attribuisca loro alcun nome, è chiaro che egli allude, nel primo caso, alla media cosiddetta armonica e, nel secondo, alla media aritmetica. Di quest’ultima la formula, come tutti sanno, è (a+b)/2. Della prima si ricava facilmente: (x – a)/(b + x) = a/b, cioè x = 2ab/a+b. Tra 6 e 12, ad esempio, la media aritmetica è (6+12)/2, cioè 9, che supera 6 ed è superato da 12 della stessa quantità, ovvero 3; la media armonica è 2·6·12/(6+12), cioè 144/18, che dà 8, numero che supera 6 ed è superato da 12 della stessa frazione di 6 e di 12, ovvero 1/3: infatti 8 = 6+2, con 2 = 1/3·6; 8 = 12 – 4, con 4 = 1/3·12.

Seguendo le indicazioni di Platone, dal riempimento degli intervalli doppi si ottiene questa serie:

1, 4/3, 3/2, 2, 8/3, 3, 4, 16/3, 6, 8

Dal riempimento degli intervalli tripli deriva quest’altra serie:

1, 3/2, 2, 3, 9/2, 6, 9, 27/2, 18, 27

Ebbene, se, come indica Platone[5], si considerano i rapporti che legano tra loro i numeri delle due serie, si scopre che sempre si ripetono questi tre tipi di rapporti: 3/2, 4/3 e 9/8. Infatti:

1, 4/3, 3/2, 2, 8/3, 3, 4, 16/3, 6, 8

4/3 9/8 4/3 4/3 9/8 4/3 4/3 9/8 4/3

e

1, 3/2, 2, 3, 9/2, 6, 9, 27/2, 18, 27[6]

3/2 4/3 3/2 3/2 4/3 3/2 3/2 4/3 3/2

Da questa scrittura è facile vedere come, inserendo tra i precedenti i nuovi numeri, si ottengano due serie continue costituite da tre proporzioni, in ciascuna delle quali ogni rapporto è uguale a qualunque altro: nella prima il valore dei rapporti è pari a 4/3, nella seconda a 3/2. Infatti:

1 : 4/3 = 3/2 : 2 = 2 : 8/3 = 3 : 4 = 4 : 16/3 = 6 : 8

e

1 : 3/2 = 2 : 3 = 3 : 9/2 = 6 : 9 = 9 : 27/2 = 18 : 27


[1] Il termine ἀναλογία a qui non compare, è vero; ma a 37 a 4, ricapitolando con una breve formula tutto il lavoro compiuto dal demiurgo, Platone dice che l’anima è stata ἀνὰ λόγον μερισθεῖσα καὶ συνδεθεῖσα, «secondo proporzione divisa in parti poi legate assieme»: si tratta di un’affermazione capitale, che getta una luce chiarificatrice su tutto quanto è stato detto in precedenza e che non mi pare sia stata tenuta nel debito conto. (La questione ha pure un interessantissimo risvolto in materia di storia del lessico intellettuale. Infatti è proprio traducendo il Timeo platonico che Cicerone coniò in latino il termine proportione: cfr. Timaeus seu de universo, 13 [= Tim. 31 c 2-4]: «vinculorum id est aptissimum atque pulcherrumum, quod ex se atque de is quae stringit quam maxime unum efficit. Id optime adsequitur quae Graece ἀναλογία, Latine – audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novatur – comparatio proportiove dici potest», e Timaeus, 27 [= Tim. 37 a 4]: «temperatione trium partium pro portione compacta»).

[2] Il riferimento a queste righe, e a quelle immediatamente successive (31 c 4 – 32 c 4), mi sembra a sua volta illuminante. Pare proprio che il demiurgo compia operazioni affini sul corpo e sull’anima del mondo, e del resto il suo scopo è tutt’e due le volte il medesimo: conferire il massimo di compattezza e salda unità ad entrambi. Nel caso del corpo, egli opera con gli elementi, quattro di numero, che costituiscono i termini di due proporzioni (fuoco : aria = aria : acqua; aria : acqua = acqua : terra), ponendone in mezzo due e lasciando come estremi gli altri. Così rende il corpo del mondo δι’ἀναλογίας ὁμολογῆσαν, «compatto per mezzo della proporzione». Allo stesso modo, per quanto riguarda l’anima, il demiurgo ottiene delle proporzioni, e quindi dei legami, prendendo delle parti d’anima e ponendole in mezzo ad altre parti.

Ancora la somiglianza con quanto avviene nel caso del corpo del mondo può spiegare il motivo per cui è necessario riempire gli intervalli ottenuti dopo la prima partizione: quegli intervalli, doppi e tripli, sono composti ciascuno da due termini, ma «non è possibile che due soli termini formino una bella composizione: bisogna che in mezzo vi sia un legame, che li unisca entrambi» (31 b 8 – 31 c 2).

[3] Queste parole di Platone confermano, se ce ne fosse ancora bisogno, che il tipo di operazione compiuta dal demiurgo non ha nulla a che vedere con il segnare intervalli su una “striscia d’anima”. Egli stacca parti da un composto iniziale, la cui quantità diminuisce progressivamente fino ad esaurirsi. Il testo è chiaro e davvero non sembra ammette letture in altro senso.

[4] Nuova corrispondenza con quanto avviene per il corpo del mondo. A 32 b 3 Platone precisa che c’è bisogno di due μεσότητες tra gli estremi, perché τὰ στερεὰ […] δύο ἀεὶ μεσότητες συναρμόττουσιν «sempre due medietà congiungono i corpi solidi» (cioè acqua, aria, terra e fuoco). Da questa notazione si ricava che non solo le proporzioni, ma prima ancora le medietà, generatrici di proporzioni, hanno il compito di congiungere.

[5] L’indicazione si trova subito sotto, a 36 a 6, cioè nella prima riga del brano discusso nella sezione (c).

[6] Come si vede, alcuni numeri compaiono in entrambe le serie: oltre all’1, sono 3/2, 2, 3 e 6. Per questo motivo, moltissimi commentatori hanno ritenuto di poter eliminare i termini comuni e ottenere così un’unica successione. Notevole è la disinvoltura con cui quest’operazione è stata compiuta: valga per tutti il caso di Taylor, A Commentary on Plato’s Timaeus, Oxford 1962, p. 138, il quale, dopo aver accolto la scrittura separata delle due serie, afferma tranquillamente: «For convenience’s sake we may now write them [scil. the numbers] as one series, arranging its terms in the natural ascending order». Sembra che lo studioso inglese – ma, come ho detto, si tratta di un caso fra tanti, che cito come esempio di una tendenza molto frequente; ebbene, sembra che lo studioso inglese consideri le due scritture come equivalenti e la scelta tra l’una o l’altra come una pura questione di gusti o di ‘comodità’. Ora, questo punto non va affatto sottovalutato: esiste una grande differenza tra le due disposizioni, perché considerare o no dei numeri in calcoli come quelli di cui alla sezione (c) cambia evidentemente – e non di poco – il risultato (si veda, a questo proposito, la conclusione cui perviene M. von Perger, Die Allseele in Platons Timaios, Stuttgart und Leipzig 1997, p. 108, il quale a sua volta fonde le due serie). Per adottare una scrittura diversa, che ha influenza sul risultato delle operazioni matematiche e può quindi orientare tutta l’interpretazione del passo, bisogna avere fondati motivi: non si può certo fare appello alla comodità (o passare dall’una all’altra sic et simpliciter, come fanno Moutsopoulos, La musica nell’opera di Platone, Milano 2001, p. 378, e O. Tiby, Note musicologiche al Timeo di Platone, «Dioniso», xii (1949) pp. 33-55, p. 39; in questo senso maggiore coerenza dimostra Cornford, Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary, New York 1957, pp. 66 e 71, che dispone i numeri, dall’inizio alla fine, in una singola serie). Esiste al contrario un’ottima ragione per guardarsi dall’alterare la scrittura separata: i numeri che compaiono due volte non sono affatto degli inutili doppioni, avendo delle funzioni ben diverse nelle due successioni (ad es. 3/2 nella serie del due è media aritmetica tra 1 e 2, mentre nella serie del 3 è media armonica tra 1 e 3). L’ordine ottenuto dall’inserimento delle medietà non va perciò turbato, pena un sovvertimento generale dei risultati.


Autore Davide del Forno
Pubblicazione «Elenchos. Rivista di studi sul pensiero antico» 26 (I)
Editore Bibliopolis
Luogo Napoli
Anno 2005
Pagine 13-17
Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...