La divisione dell’aritmetica (1)

Nell’antichità il termine aritmologia non esisteva. Ciò significa che essa non era sentita come una dottrina a se stante, o come un ramo dell’aritmetica, ma come parte di essa.

Alla base del sorgere di un nuovo termine, infatti, si pone la necessità di identi­ficare e definire un nuovo concetto; se non si avverte tale necessità, significa che il concetto non si è ancora formato, non ha ancora preso corpo e la consistenza necessari per presentarsi alla coscienza come un qualche cosa di autonomo ed indipendente per il quale urge l’identificazione linguistica; esso rimane in uno stato magmatico, indistinto dalla materia che lo circonda, ancora parte di essa. Così, la mancanza sul piano linguistico di un termine per designare i significati simbolici dei numeri (aritmologia) rivela l’analoga mancanza, sul piano concettuale, della nozione di ‘dottrina speciale dei nume­ri’ separata dall’aritmetica, l’assenza di una coscienza aritmologica, per così dire, da contrapporre ad una coscienza aritmetica.

Perché la distinzione tra aritmetica e aritmologia venga operata o suggellata dall’introduzione di un termine specifico per identificare una certa dottrina dei numeri, molti secoli dovranno passare. Prima di esaminare questo aspetto, è utile considerare come l’antichità concepiva l’aritmetica al fine di comprendere meglio il posto che occupava in essa l’aritmologia e come vi si inseriva. L’antichità talvolta distingueva tra aritmetica (ἀριθμητική) e logistica (λογιστική). Le principali fonti che attestano questa distinzione sono Gemino citato da Proclo nel suo Commentarium in prιmum Euclidis Elementorum librum, uno scolio al Carmide di Platone e Anatolio citato da Erone nelle Definizioni. Già in Platone, tuttavia, troviamo insieme i due termini aritmetica e logistica. Comprendere quale significato il filosofo attribuisca loro è alquanto problematico, poiché i numerosi passi dei dialoghi dedicati a questo argomento presentano notevoli differenze. Talvolta Platone parla di aritmetica e logistica insieme[1], talvolta, invece, ope­ra un’accurata distinzione tra le due[2]; ci sono passi dove egli menziona solo la logistica[3] e non l’aritmetica, ed altri dove compare anche un altro termine, μετρητιή, ovvero arte della misura[4]. Talvolta Platone distingue una logistica pratica ed una logistica teoretica, così come un’aritmetica pratica ed una teoretica[5]. Tuttavia, la differenza tra l’aritmetica e la logistica sembra corrispondere a quella che intercorre rispettivamente tra il contare e il calcolare. Nel Gorgia, infatti, Platone afferma che:

Se per esempio uno mi chiedesse, a proposito di una qualsiasi di quelle arti di cui proprio ora ti facevo menzione: «Socrate, che cos’è l’aritmetica?» – gli risponderei, come tu poco fa, che è una delle arti che hanno la propria validità nel discorso. E se mi domandassero ancora: «Fra queste, a quale specifico oggetto si riferisce?» – risponde­rei che si riferisce al pari e al dispari, qualunque possa essere la quantità particolare di ciascuno di essi.

Se poi ancora mi si chiedesse: «Quella che chiami ‘calcolo’ che arte è?» – rispon­derei che anche il calcolo è una delle arti la cui validità è del tutto nel discorso. E se di nuovo mi interrogassero: «In riferimento a quale specifico oggetto?» – risponderei, come i redattori di decreti nell’assemblea del popolo, che «per tutto il resto» il calcolo è come l’aritmetica, perché si riferisce allo stesso oggetto, cioè al pari e al dispari: ma differisce su questo punto: che il calcolo considera il valore numerico che hanno il pari e il dispari, sia ciascuno in sé, sia nelle loro relazioni reciproche.[6]

L’aritmetica è l’arte del numero, dell’ἀριθμός, in quanto ogni volta che si deside­ra determinare il numero di un gruppo di oggetti, occorre conoscere i numeri, vale a dire saper contare, come Platone afferma nella Repubblica:

Quella comunissima che distingue l’uno, il due e il tre: intendo insomma la scienza dei numeri e del calcolo»… «Ed è proprio ridicola la figura che ogni volta Palamede fa fare ad Agamennone nelle tragedie: non hai capito che è lui, l’inventore dell’aritmetica, a disporre i soldati in campo davanti a Ilio e a contare le navi e tutto il resto, come se prima di lui nessuno li avesse mai contati e Agamennone, a quanto pare, non sapesse neppure quanti piedi avesse, dato che non sapeva contare?[7]

Conoscere l’uno, il due e il tre è compito della scienza dell’ἀριθμός e del λογισμός. Qui numero e calcolo sono ancora associati, ma poco dopo Platone usa il solo verbo ἀριθμεῖν con il significato di contare. Tutte le volte, invece, che vogliamo modificare numero del suddetto gruppo di oggetti, dobbiamo ricorrere alle operazioni, per esem­pio una sottrazione o una divisione ecc. Ma per poter applicare le operazioni o proce­dere ad un qualsiasi calcolo, occorre conoscere quali relazioni intercorrano tra i numeri dato che essi le implicano necessariamente. Questa scienza si chiama arte del calcolo o logistica. Sia l’aritmetica sia la logistica riguardano il pari e il dispari, vale a dire, in sostanza, tutti i numeri, tuttavia la prima si limita ad essere semplice conoscenza dei numeri, la seconda, invece, è anche conoscenza delle relazioni dei singoli numeri con se stessi e tra di loro. Nel Carmide Platone dà una definizione della logistica analoga a quella del Gorgia. Tuttavia, come si è accennato sopra, Platone distingue talvolta un’aritmetica e logistica dei molti e un’aritmetica e logistica dei filosofi, vale a dire un’aritmetica e logistica pratiche ed un’aritmetica e logistica teoretiche:

L’aritmetica in primo luogo, non bisogna forse dire che una è quella dei più, un’altra è quella dei filosofi?» «E come, allora, si può distinguere un’aritmetica dall’al­tra?» «Non è una distinzione da poco, Protarco. Infatti, tra quelli che si occupano del numero, gli uni numerano unità disuguali, come due eserciti, due buoi, due oggetti qualsiasi, i più piccoli o anche i più grandi di tutti; gli altri, invece, non accetterebbero mai di associarsi a questi, se non si stabilisce che nessuna delle innumerevoli unità è diversa da un’altra»… «Prendiamo la tecnica del calcolo e quella della misurazione utilizzate dai lavoratori delle costruzioni e dai commercianti, poste in confronto con quelle usate nella filosofia quando si occupa di geometria e di calcoli esatti: di ciascuna bisogna dire che è una sola o dobbiamo considerarla duplice?» «Sulla base dei discorsi precedenti, personalmente voterei a favore della tesi che ciascuna di esse è duplice.[8]

Le discipline pratiche usano unità non indistinte tra di loro, vale a dire numeri concreti, mentre le discipline teoretiche si fondano soltanto su unità tutte uguali tra di loro, concepite quindi come indifferenziate. La logistica pratica è legata all’attività dei mercanti[9] e alle necessità della vita quotidiana, e insieme alla ἀριθμητική, l’arte della misura, e all’aritmetica è usata nella costruzione e nel commercio. La logistica teoretica, invece, è interpretata come teoria dei rapporti tra numeri e delle proporzioni.


[1] Plat., Resp. VII, 522c.

[2] Plat., Gorg. 451b-c; Charm. 165e-166a, dove Platone dà una definizione della sola logistica.

[3] Plat., Pol. 259e-260b.

[4] Plat., Phil. 56e; Prot. 356a, dove di menzionano μετρητιή e λογιστική.

[5] Plat., Phil. 56d-57d; Resp. VII, 525b-d; Leg. VII, 817e-819d.

[6] Plat., Gorg. 451b-c (trad. di Stefania Nonvel Pieri 1991).

[7] Plat., Resp. VII, 522c (trad. di G. Lozza 1990).

[8] Plat., Phil. 56d-57a (trad. di M. Migliori 1995). Si legga anche il seguente passo della Repubblica (VII, 522c-d, trad. di G. Lozza 1990): «Ma tutta la scienza del calcolo e l’aritmetica riguardano i numeri?» «Certo.» «E sembra che queste discipline attirino verso la verità». «In misura eccezionale!» «Dunque una delle discipline che cerchiamo è questa. Infatti un guerriero deve apprenderla per la tattica, un filosofo per raggiungere l’essere ed emergere dal divenire; altrimenti non sarà mai un esperto di aritmetica».

[9] Plat., Resp. VII, 525c.


Autore Silvia Pieri
Pubblicazione Tetraktys. Numero e filosofia tra I e II secolo d.C.
Editore Ermes (Philosophia Perennis, 2)
Luogo Firenze
Anno 2005
Pagine 13-16
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